4.6. Перестрахование. Сущность и разновидности договоров перестрахования

Физические и юридические лица заключают договор страхования со страховыми компаниями для того, чтобы избавиться от финансовых потерь, связанных с неопределенностью наступления тех или иных случайных событий. До заключения договора страхования клиент имел некоторый риск, который мог привести к случайным потерям (а мог и не привести к ним). После заключения договора страхования, клиент избавился от этого риска (за неслучайную плату ). Иными словами, клиент идет на небольшие детерминированные расходы с тем, чтобы избавиться от случайных потерь, которые хоть и маловероятны, но могут быть катастрофически большими для него. Однако, сам риск не исчез – его приняла на себя страховая компания. Другое дело, что, имея большой портфель договоров, страховая компания обеспечивает себе крайне малую вероятность разорения. Тем не менее, возможны очень большие иски, которые приведут к разорению компании. С этой точки страховая компания попадает в ту же ситуацию, в которой первоначально (до заключения договоров страхования) находились ее клиенты – существует опасность финансовых потерь, связанная с неопределенностью предъявления очень больших исков.

Для решения этой проблемы страховые компании прибегают к средству – страхованию своего риска в другой компании. Такой вид страхования называется перестрахованием.

Компания, непосредственно заключающая договора страхования и желающая перестраховать часть своего риска, называется передающей компанией, а компания, которая страхует исходную страховую компанию, называется перестраховочной компанией.

При перестраховании могут перестраховываться как чрезмерно большие индивидуальные иски, так и суммарный иск за определенный период, допустим, один год.

Деление договоров перестрахования на различные типы связано с видом разделения ответственности между передающей и перестраховочной компанией.

Если передающая компания самостоятельно удовлетворяет некоторую долю , , от каждого иска, а перестраховочная компания - оставшуюся долю , то такой вид перестрахования называется пропорциональным. Параметр называется пределом удержания.

Предположим теперь, что передающая компания самостоятельно оплачивает все иски вплоть до некоторого предела рублей, а для исков, превышающих , оплачивает сумму самостоятельно и предъявляет иск на оставшуюся сумму к перестраховочной компании. Если это правило применяется к каждому индивидуальному иску, то такой вид перестрахования называется перестрахованием превышения потерь. Параметр называется пределом удержания. Если же это правило применяется к общему иску за некоторый период, то такой вид перестрахования называется перестрахованием, останавливающим потери. Параметр в этом случае называется франшизой.

Перестраховочная компания принимает на себя риск от передающей компании за определенную плату. В сущности, для перестраховочной компании операция выглядит как обычное страхование. Поэтому плата за перестрахование устанавливается на тех же принципах, что и премии для обычного страхования, т.е. плата за перестрахование риска равна , где – ожидаемый иск к перестраховочной компании, а – относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией.

Мы будем рассматривать договора перестрахования только с точки зрения передающей компании. Поэтому будем считать, что относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией фиксирована. Основная проблема будет заключаться в выборе договора перестрахования и, прежде всего, в выборе основного числового параметра договора – предела удержания, оптимального с точки зрения передающей компании.

Перестрахование в модели индивидуального риска

Модель индивидуального риска – это простейшая модель функционирования страховой компании, предназначенная для расчета вероятности разорения. Она базируется на следующих упрощающих предположениях:

• анализируется фиксированный относительно короткий (так что можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестирования) промежуток времени – обычно это один год;

• число договоров страхования фиксировано и неслучайно;

• плата за страховку полностью вносится в начале анализируемого периода; никаких поступлений в течение этого периода нет;

• мы наблюдаем каждый отдельный договор страхования и знаем статистические свойства связанного с ним индивидуального иска (поскольку не все договора приводят к иску, некоторые их случайных величин , где – иск от -го договора равны нулю).

В рамках этой модели разорение определяется суммарным иском к страховой компании. Если этот суммарный иск больше, чем резервы компании , то компания не сможет выполнить свои обязательства и разорится. Поэтому вероятность разорения компании равна

.

Другими словами, вероятность разорения – это дополнительная функция распределения величины суммарного иска к компании за рассматриваемый промежуток времени.

Пропорциональное перестрахование

После перестрахования суммарный иск к передающей компании, который был равен , уменьшается и становится равным . Однако одновременно уменьшается и капитал передающей компании. До заключения договора перестрахования он был равен , где – начальный фонд, а – относительная страховая надбавка. Заключение договора перестрахования приводит к выплате перестраховочной компании суммы , где – ожидаемый суммарный иск к перестраховочной компании, а – относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией. Поэтому после заключения договора перестрахования резервный фонд компании становится равным

.

Соответственно, вероятность разорения становится равной

.

Если , то при уменьшении предела удержания от 1 (отсутствие перестрахования) до 0 (полное перестрахование) вероятность разорения убывает от первоначального значения . Однако, одновременно уменьшается и ожидаемый доход передающей компании

.

При этом в случае при полном перестраховании компания в действительности будет иметь убыток величиной . В этом случае, очевидно, параметр не может быть меньше, чем (при этом значение ожидаемый доход равен 0).

Итак, если , то за счет перестрахования можно уменьшить вероятность разорения (с одновременным уменьшением ожидаемого дохода).

Если , то при уменьшении предела удержания вероятность разорения возрастает и поэтому от перестрахования нужно отказаться.

И, наконец, если , то вероятность разорения вообще не зависит от предела удержания. Однако, поскольку ожидаемый доход убывает вместе с уменьшением предела удержания, в этом случае от перестрахования также лучше отказаться.

Перестрахование превышения потерь

В случае заключения договора перестрахования превышения потерь, иск превращается в иск к передающей компании и в иск к перестраховочной компании.

Предположим, что уступающая компания перестраховала однотипных договоров, т.е. иски по ним являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами.

Тогда суммарный иск к передающей компании, который был равен , уменьшается и становится равным . Однако, одновременно уменьшается и капитал передающей компании. До заключения договора перестрахования он был равен (для простоты учитываем только плату за страховки):

,

где – нетто-премия, а – относительная страховая надбавка. Заключение договора перестрахования приводит к выплате перестраховочной компании суммы , где – ожидаемый индивидуальный иск к перестраховочной компании, а – относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией. Поэтому после заключения договора перестрахования капитал передающей компании становится равным

.

Соответственно, вероятность разорения становится равной

.

Используя гауссовское приближение, можем записать вероятность разорения после перестрахования как

.

Ясно, что минимизация вероятности разорения означает максимизацию аргумента у функции . Таким образом, чтобы решить вопрос о целесообразности перестрахования, и в случае положительного ответа выбрать оптимальный предел удержания , мы должны изучить поведение следующей функции от :

и определить ее глобальный максимум при . Отметим, что если этот максимум достигается при , то перестрахование нецелесообразно; если же при , то нужно перестраховывать все.

Резюме

Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется какая-то математическая модель. При построении модели реальное явление неизбежно упрощается, схематизируется, и эта схема описывается с помощью соответствующего математического аппарата.

Задача нахождения оптимального соотношения между страховой суммой и страховой премией является одной из важнейших задач актуарной математики. При назначении и расчете премии необходимо учитывать массу разнообразных факторов (величина страховой суммы, административные расходы, расходы на ведение дела, зарплата сотрудникам и т.п.), главным из которых является вероятность разорения компании, величину которой необходимо минимизировать. Уменьшение вероятности разорения страховой компании добиваются за счет введения так называемой защитной надбавки (или относительной защитной надбавки), расчет которой также относится к важнейшим задачам актуарной математики.