3.4. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год
Ежегодные
ренты встречаются значительно реже,
чем ренты, выплачиваемые несколько раз
в год. Так, например, пенсии выплачиваются
ежемесячно. Страховые премии также
часто вносятся ежемесячно или
ежеквартально. Принципы расчета текущей
стоимости этих рент такие же, как и в
случае ежегодных рент, однако вывод
окончательных формул более сложен в
связи с тем, что необходимо уметь
вычислять дисконтные множители и
численность доживающих для интервалов
времени, длительность которых менее
года. Для дисконтных множителей мы
предполагаем, что наращивание процентов
происходит непрерывно; для промежуточных
же значений численности доживающих
используется линейная интерполяция
.
Рассмотрим
авансированную срочную ренту, выплачиваемую
раз в год. Величина каждой выплаты равна
,
поэтому суммарная выплата за год, как
и в случае ежегодной ренты, равна единице.
Текущая стоимость этой ренты обозначается так же, как и для ежегодной ренты, но с верхним индексом :
. (1)
Простые формулы для -кратных рент
Если
значение годовой процентной ставки
достаточно мало, то можно считать, что
линейная интерполяция справедлива не
только для числа доживающих, но и для
дисконтного множителя (т.е. в пределах
года начисление процентов происходит
по закону простых процентов). Тогда и
для коммутационной функции
также будет справедлива линейная
интерполяция в пределах года:
. (2)
Подставим
формулу (2) в формулу (1) и выполним
суммирование по
:
;
.
Затем выполним суммирование по с использованием формулы для суммы членов арифметической прогрессии:
. (3)
Аналогичным образом можно получить и формулу для обычной ренты
. (4)
Если процентная ставка достаточно велика, то линейная интерполяция (2) для неприменима, и требуется более детальный анализ.
Точные формулы для -кратных рент для произвольной процентной ставки
Если
процентная ставка достаточно велика,
то линейная интерполяция (2) для
неприменима. Поэтому будем использовать
в расчетах линейную интерполяцию только
для числа доживающих (
),
для дисконтных же множителей будем
использовать точные выражения. В
результате получим
;
,
где
– фактические
процентная и учетная ставки за период,
равный
части года, определяемые формулами
; 
(эффективная процентная ставка);
; 
(эффективная годовая учетная ставка).
Непрерывные ренты
Если
выплаты ренты происходят достаточно
часто, то можно считать, что процесс
выплаты рент непрерывен (особенно для
еженедельных выплат). Текущую стоимость
непрерывной ренты легко получить из
формул (3) или (4) при
:
.
3.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами
В страховой практике часто используют накопительные схемы страхования, в которых фиксируются величины не страховых выплат, а уплачиваемых взносов. Искомая величина, подлежащая определению с помощью актуарных расчетов, – накопленная величина вкладов. Причина популярности таких схем заключается в том, что страхователи психологически легче воспринимают банковскую схему наращения вклада, которая позволяет легко оценить доходность. Кроме того, вследствие постоянного изменения процентной ставки, не представляется возможным гарантированно спланировать на срок более года страхование по классической схеме с нормой доходности, способной конкурировать с сегодняшней доходностью банковских вкладов. Применение схемы с фиксированными взносами позволяет работать с плавающей процентной ставкой, которую можно в каждый момент времени выбрать на достаточно высоком конкурентоспособном уровне.
Если
каждый член большой группы численностью
в возрасте
внесет в фонд платеж в размере 1, то через
лет накопленная сумма будет равна
.
В расчете на одного дожившего до возраста
это даст
. (1)
Из формулы (1) видно, что наращение суммы будет происходить более высокими темпами, чем на банковском вкладе с такой же процентной ставкой, за счет перераспределения вкладов умерших между дожившими.
Если каждый член группы в начале каждого года вносит в фонд сумму в размере 1 (рента пренумерандо), то накопленная через лет сумма в расчете на одного дожившего будет равна
. (2)
Если взносы будут вноситься в конце каждого года (рента постнумерандо), то аналогичным образом получим
. (3)
Сравнивая
формулы (2), (3) с формулами
и
видим, что они связаны универсальным
соотношением
. (4)