- •Н. Л. Кузнецова, а. В. Сапожникова
- •Предисловие
- •Методические материалы Рабочая программа дисциплины Пояснительная записка
- •Рабочая программа дисциплины
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Рекомендации по самостоятельной работе студента
- •Глава 1. Введение. Основы теории вероятностей и
- •1.1. Элементы теории вероятностей
- •1.2. Элементы финансовой математики
- •Приведенная ценность
- •Оценивание серии платежей Детерминированные ренты
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Характеристики продолжительности жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •2.1. Время жизни как случайная величина
- •2.2. Остаточное время жизни
- •2.3. Округленное время жизни
- •2.4. Таблицы продолжительности жизни
- •2.5. Приближения для дробных возрастов
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Теория страхования на основе использования
- •Связанных с этими таблицами характеристик и функций Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •3.1. Страхование на чистое дожитие
- •3.2. Страхование рент
- •3.3. Страхование жизни
- •3.4. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год
- •3.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами
- •3.6. Страховые премии
- •Нетто-премии для элементарных видов страхования
- •Нетто-премии для пенсионных планов
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Модели краткосрочного страхования жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •4.1. Анализ моделей краткосрочного страхования жизни
- •4.2. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном страховании жизни
- •4.3. Точный расчет характеристик суммарного ущерба
- •4.4. Приближенный расчет вероятности разорения
- •4.5. Принципы назначения страховых премий
- •4.6. Перестрахование. Сущность и разновидности договоров перестрахования
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 5. Модели долгосрочного страхования жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Практикум Указания по выполнению практических заданий
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Задания для контроля
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Тесты для самоконтроля
- •Ключи к тестам для самоконтроля
- •1.Кривая смертей задана формулой . Функция выживания равна
- •Решение.
- •5. Мужчина в возрасте 40 лет покупает за 100000 рублей пожизненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет. Эффективная процентная ставка . Величина ежегодных выплат равна
- •Решение.
- •Вопросы к зачету
- •Список источников информации
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
1.2. Элементы финансовой математики
Эффективная процентная ставка
Рассмотрим следующую простейшую ситуацию.
Предположим, что в момент времени мы даем в долг сумму (например, кладем на свой счет в банке, вносим плату за страховку, перечисляем пенсионный взнос в пенсионный фонд и т.д.). Спустя время мы можем рассчитывать на определенный доход от инвестирования принадлежащего нам капитала . Сумма является наградой за то, что наши средства использовались другим человеком. Обычно ее измеряют в относительных единицах; величина называется эффективной процентной ставкой за рассматриваемый промежуток времени .
Простые и составные проценты
Предположим теперь, что сумма может инвестироваться на два последовательных промежутка времени. Пусть – эффективная процентная ставка на первом промежутке, – соответственно на втором. Существуют две схемы исчисления дохода на объединенном интервале:
Принцип простых процентов предполагает, что проценты начисляются только на основной капитал. Поэтому . Соответственно, итоговая процентная ставка .
Принцип сложных процентов предполагает, что проценты начисляются не только на основной капитал, но и на уже заработанные проценты. Поэтому в конце второго интервала времени основной капитал вырастет до величины
.
Соответственно, итоговая процентная ставка определяется из условия , т.е. .
Принцип сложных процентов фактически означает, что инвестор может свободно распоряжаться своими средствами. Поэтому в актуарной математике принято использовать принцип сложных процентов при определении дохода от вложенных средств.
Процентные ставки, используемые в большинстве расчетов в актуарной математике, определяются, исходя из консервативных оценок доходности реальных будущих инвестиций страховщика. Они намного ниже реальных процентных ставок, предлагаемых рынком для различных видов инвестиционных проектов. Их значение заключается в том, чтобы как-нибудь учесть рост денег, внесенных в качестве платы за страховое покрытие. Поэтому их называют техническими процентными ставками. На самом деле страховая компания зарабатывает гораздо большие проценты; более того, это один из самых (если не самый главный) источник дохода страховщика.
Накопления
Выберем некоторый промежуток времени в качестве единичного (как правило, один год) и предположим, что процентная ставка за этот промежуток равна . Допустим, что в момент сумма инвестируется на единиц времени. По принципу сложных процентов в момент времени капитал превратится в сумму . Величина называется коэффициентом накопления за время .
Интенсивность процентов
Интенсивность процентов – это мгновенная относительная скорость накопления средств
.
Поскольку , то коэффициент накопления за время можно записать в виде
.
Интенсивность процентов удобно использовать для изучения накоплений в случае изменяющихся процентных ставок. В этом случае и
.
Номинальные процентные ставки
Рассмотрим промежуток времени длиной . Если в качестве единицы измерения принят один год, то наиболее часто встречаются случаи: (рассматриваемый промежуток времени равен одному месяцу); (квартал); (полугодие).
Эффективная процентная ставка за этот промежуток времени равна
.
Однако в финансовой математике принято характеризовать доходность вложения средств на промежутке не эффективной (т.е. реальной) процентной ставкой , а так называемой номинальной процентной ставкой
.
Иногда величину называют номинальной процентной ставкой выплачиваемой (начисляемой) с частотой .