Сложение ускорений при поступательном, переносном движении

Для любого переносного движения справедлива теорема сложения скоростей

.

Если подвижная система отсчета Oxyz движется поступательно относительно неподвижной O₁x₁y₁z₁

; .

,

где , , - единичные векторы, направленные по подвижным осям координат; х, у, z - координаты движущейся точки относительно этих осей.

.

,

Выполняя дифференцирование, получим

; ,

Используя эту формулу и выражение для относительного ускорения в декартовых координатах

,

,

т. е. абсолютное ускорение точки при поступательном переносном движении равно векторной сумме ускорений переносного относительного движений.

П лоское движение твердого тела

Плоским движением твердого тела называют такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.

Для изучения движения точек, лежащих на рассматриваемой прямой, достаточно изучить движение одной точки этой прямой, например точки М (рис. 23).

Д

Рис. 23

ля изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение плоской фигуры в ее плоскости, параллельной неподвижной плоскости П₀. Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой.

1 . Уравнения плоского движения твердого тела

Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат O₁x₁y₁, лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка ОМ (рис. 24), скрепленного с фигурой. Для точки О нужно задать координаты х₀, у₀, а направление задать углом , который образует отрезок ОМ с какой-либо осью, например О₁x₁.

Уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости, а следовательно, и плоского движения твердого тела относительно системы координат O₁x₁y₁ имеют вид

; ; .

М

Рис. 24

ежду координатами точки М в двух системах координат O₁x₁y₁ и Oxy существует следующая зависимость (рис. 24):

; ,

где r-длина отрезка ОМ; - постоянный угол между отрезком ОМ и осью Ох.

Раскрывая косинус и синус суммы двух углов и учитывая, что ; , получаем окончательные формулы в следующем виде:

; .

2. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное

Л

Рис. 25

юбое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое – относительное. В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы координат O₁x₁y₁, расположенной в той же плоскости (рис. 25), можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат Ox’₁y’₁, начало которой скреплено с точкой О фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат Ox’₁y’₁ ращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс О.

3. Скорости точек тела при плоском движении

Применяя к плоскому движению теорему о сложении скоростей для какой-либо точки В фигуры, получаем

, (*)

где – абсолютная скорость точки В плоской фигуры относительно системы координат, по отношению к которой рассматривается движение фигуры; – скорость точки В от переносного поступательного движения фигуры вместе, например, с точкой А этой фигуры (рис. 26, а).

Так как за переносное движение выбрано поступательное

Скорость относительного движения, в случае когда оно является вращательным движением, равна

Эту относительную скорость можно выразить в виде векторного произведения:

,

где угловая скорость считается направленной по подвижной оси вращения.

Рис. 26

Формулу (*) можно выразить в виде

где

а вектор перпендикулярен отрезку АВ и направлен в сторону вращения плоской фигуры (рис.26, а ).

Таким образом, скорость какой-либо точки фигуры при её плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки от вращения фигуры вокруг полюса. Вышеприведенная формула выражает зависимость между скоростями двух любых точек тела при плоском движении в любой момент времени. Эту формулу, устанавливающую зависимость скоростей двух точек плоской фигуры, можно получить непосредственным дифференцированием по времени векторного равенства

справедливого для любого момента времени (см. рис. 26, а).

При дифференцировании векторов учитываем их изменения относительно основной, неподвижной, системы координат , т.е. вычисляем полные производные от этих векторов. Имеем

.

Очевидно, , - скорости точек В и А. Вектор соединяет две точки плоской фигуры и, следовательно, не изменяется по модулю при движении плоской фигуры. Производную по времени от такого вектора как вектора постоянного модуля по скалярному аргументу можно выразить в форме

где - вектор угловой скорости вращения , а следовательно. и плоской фигуры, с которой скреплён вектор .

Окончательно имеем

Если ввести обозначение , то

.