2. Сложение скоростей

П усть точка М движется относительно подвижной системы координат. Получим теорему сложения скоростей. Для этого проведём векторы и , характеризующие по­ложение точки М относительно непо­движной и подвижной систем осей координат, и вектор точки О. Для любого момента времени

Продифференцируем по времени это векторное тождество, учитывая изме­нения векторов относительно непо­движных осей координат, т. е. вычис­лим полные производные. Получим

(1)

По определению, является абсолютной скоростью точки М, - абсолютной скоростью точки О. Для вычисления применим формулу Бура. Имеем

Рис. 46

Относительная производная является относительной скоростью точки М по отношению к подвижной системе отсчета, а - угловая скорость вращения подвижной системы отсчета и, следовательно, радиуса-вектора , если бы он в рассматриваемый момент времени был скреплен с подвижной

системой осей координат. Таким образом, из (1) получаем

(2)

Скорость

является скоростью точки свободного твердого тела, скреплен­ного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает точка М в движении тела относительно неподвижной системы осей координат. Это есть переносная

скорость точки М. Получаем следующую теорему сложения

(3) скоростей для точки:

т. е. скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

3. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения

Абсолютное ускорение точки определим вычислением полной производной по времени от абсолютной скорости (2). Имеем

Для полных производных от векторов и , применим формулу Бура. Получим

;

Учитывая, что

; ;

получим для абсолютного ускорения

(1)

В этой формуле первые три слагаемых составляют ускорение точки свободного твердого тела в общем случае его движения вместе с подвижной системой осей координат относительно неподвижной. Первое слагаемое - ускорение точки О, и - соответственно вращательное и осестремительное ускорения точки М, если бы она двигалась только вместе

с подвижной системой осей координат, не имея в рассматривае­мый момент времени относительного движения. После этого (1) примет вид

(2)

(3)

Ускорение называется ускорением Кориолиса. Иногда его также называют добавочным (или поворотным) ускорением.

Формула (2) выражает теорему сложения ускорений точки, или кинематическую теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений - nереносно­го, относительного и Кориолиса.

4. Ускорение кориолиса р ассмотрим ускорение Кориолиса и его свойства. Оно определяется формулой

Ускорение Кориолиса является результатом взаимного влия­ния двух движений: переносного и относительного. Часть его получается вследствие изменения переносной скорости точки из-за относительного движения. Другая его часть, тоже , есть результат изменения относительной скорости вследствие переносного движения.

Модуль ускорения Кориолиса в соответствии с (3) определяется выражением

Д

Рис. 47

ля определения ускорения Кориолиса очень удобно правило Н. Е. Жуковского: модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения; чтобы получить направление ускорения Кориолиса, следует вектор проекции относительной скорости повернуть на 90 вокруг оси, параллельной оси переносного вращения, в направлении этого вращения.

Рассмотрим случаи обращения в нуль ускорения Кориолиса.

, если:

1) , т. е. переносное движение является поступательным;

2) , т. е. в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;

3) , т. е. когда скорость относительного движе­ния параллельна угловой скорости переносного вращения .