4. Мгновенный центр скоростей
В каждый момент
времени при плоском движении фигуры в
её плоскости, если
,
имеется единственная точка этой фигуры,
скорость которой равна нулю. Эту точку
называют мгновенным центром скоростей.
Обозначим её P.
Для доказательства
этой теоремы достаточно указать способ
нахождения мгновенного центра скоростей,
если известны по модулю и направлению
скорость какой-либо точки О
плоской фигуры и угловая скорость этой
фигуры. Пусть вращение происходит по
часовой стрелке (
и
)
. Скорость точки P
плоской фигуры равна нулю, если скорость
полюса О
и скорость от вращения вокруг полюса О
в этой точке равны по модулю, но
противоположны по направлению. Эти
точки лежат на перпендикуляре к скорости
в точке О.
В других точках векторная сумма двух
векторов не может быть равна нулю.
Итак, если
,
то
.
Но
следовательно,
.
Если мгновенный центр скоростей известен, то скорости точек плоской фигуры при её движении в своей плоскости вычисляют так же, как и в случае вращения фигуры в рассматриваемый момент вокруг своего мгновенного центра скоростей с угловой скоростью . В общем случае, если известны скорости двух точек плоской фигуры (рис. 27), мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров к скоростям этих точек. В том случае, когда точки лежат на общем перпендикуляре к скоростям этих точек, скорости точек параллельны и концы их лежат на одной прямой, проведённой через мгновенный центр скоростей (рис. 28 и 29).
Рис.
28
Рис.
27
Е
Рис.
29
Рис.
30
5. Вычисление угловой скорости при плоском движении
Угловую скорость плоской фигуры при плоском движении можно вычислить, согласно ее определению, как
.
Затем ее также можно определить по формуле
.
Чтобы определить угловую скорость, надо скорость какой-либо точки плоской фигуры разделить на расстояние от этой точки до мгновенного центра скоростей.
Угловую скорость
при плоском движении можно вычислить
путем предварительного нахождения
скорости какой-либо точки плоской фигуры
от вращения фигуры вокруг другой ее
точки, принятой за полюс, например
или
.
Тогда угловая скорость равна
.
6. Ускорения точек тела при плоском движении
Р
ассматривая
плоское движение плоской фигуры как
сложное, состоящее из переносного
поступательного вместе с полюсом А
и относительно вращательного вокруг
А,
по теореме о сложении ускорений для
точки В
имеем
.
Так как переносное движение является поступательным вместе с точкой А фигуры, то переносное ускорение
.
Относительное
ускорение
точки В
от вращения вокруг полюса А
обозначим
.
После этого получается, что
Рис.
31
т.е. ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки от вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса.
Ускорение от относительного вращательного движения вокруг полюса
,
причем
и
.
Касательное
относительное ускорение
направлено по перпендикуляру к отрезку
АВ
в сторону дуговой стрелки углового
ускорения
(рис.31 ,а).
.
Угол надо откладывать в направлении дуговой стрелки углового ускорения.
Формулу, определяющую зависимость ускорений двух точек плоской фигуры, можно получить непосредственным дифференцированием векторного равенства для скоростей, справедливого в любой момент времени. Имеем
.
Продифференцируем по времени обе части этого равенства, учитывая изменения векторных величин относительно неподвижной системы координат (полные производные). Получаем
Здесь
- ускорения точек В
и А
относительно неподвижной системы
координат;
- угловое ускорение плоской фигуры.
Объединяя полученные результаты, получаем
Рассуждения, аналогичные тем, которые проведены для скорости , позволяют сделать вывод о том, что
;
т.е.
и
являются соответственно касательным
и нормальным ускорениями от вращения
плоской фигуры вокруг точки А.
Следовательно,
.