5. Естественный способ изучения движения Естественный способ задания движения

При естественном способе задания движения задаются траектория и закон движения точки по траектории. Движение точки рассматривается относительно фиксированной системы отсчета.

Для задания закона движения точки по траектории необхо­димо выбрать на траектории точку О, принимаемую за начало отсчета расстояний (рис. 5). Сторону от точки О по траектории считаются положительными (например, вправо), в другую - отрицательными.

Е сли в момент времени t движущаяся точка занимает положение М, то закон движения точки по траектории задается зависимостью от времени расстояния s, отсчитываемого от точки О до точки М, т. е. . Эта функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой.

О

Рис. 5

т задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декарто­вы координаты выражается в виде

и после интегрирования - в конечной форме

, , .

Скорость точки при естественном способе задания движения

Используя определение скорости, имеем

или , где . Вектор направлен по касательной к траектории как производная от вектора по скалярному аргументу и является единичным вектором. Модуль этого вектора равен единице, как предел отношения длины хорды к длине стягивающей ее дуги при стремлении ее к нулю.

Единичный вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастающих (положительных) рас­стояний независимо от направления движения точки.

Величина называется алгебраичес­кой скоростью точки. Ее можно считать проекцией скорости на положительное на­правление касательной к траектории, совпадающее с направлением единичного вектора .

Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора

Р адиус кривизны и соприкасающаяся плоскость. В точке М кривой линии проведем касательную (рис. 6). В другой близкой точке кривой М₁, отстоящей от точки М на расстоянии , построим касательную . В общем случае пространст­венной кривой касательные и будут скрещиваться. Проведем в точке М прямую линию , параллельную . Угол между линиями и называется углом смежности. Кривизной кривой k в точке М называют предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния , причем стремится к нулю, т. е.

Рис. 6

Радиусом кривизны кривой  в точке М называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т. е.

Для определения понятия соприкасающейся плоскости прово­дим вспомогательную плоскость через две пересекающиеся прямые и (см. рис. 6). Предельное по­ложение этой плоскости при совпаде­нии в пределе точки М₁ с точкой М называется соприкасающейся плос­костью кривой в точке М.

Е стественный трехгранник. Построим в точке М кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 7). Первой естественной осью является касатель­ная . Ее положительное направление совпадает с направ­лением единичного вектора касательной , направленного в сторону возрастающих расстояний.

Перпендикулярно касательной располагается нор­мальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в со­прикасающейся плоскости, называется главной нормалью Мп. Она является линией пересечения нормальной плоскости с со­прикасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор п.

Н

Рис. 7

ормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. Единичный вектор , направленный по бинормали так, чтобы три вектора , и образовывали правую систему осей координат, определит положительное направление третьей естественной оси.

Три взаимно перпендикулярные оси , Мп и Мb называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.

Д ифференцирование единичного вектора. Вычислим производ­ную от единичного вектора по скалярному аргументу. Производная перпендикулярна самому единично­му вектору . Для доказательства этого используем тож­дество

Дифференцируя по времени обе части этого тождества, получим

К

Рис. 8

аждый из сомножителей этого выраже­ния не равен нулю, поэтому векторы и перпендикулярны друг другу.

Направим по вектору единичный вектор . Тогда

(*)

Годографом вектора является кривая, расположенная на сфере единичного радиуса, так как единичный вектор изменя­ется только по направлению (рис. 8).

По определению модуля производной от вектора имеем

Длина малой хорды с точностью до малых величин более высокого порядка равна длине дуги, которую стягивает хорда, т. е.

где - угол, опирающийся на эту дугу. Используя это выражение, получим

Подставляя это значение в (*) и используя выражение для радиуса кривизны и переменную s, получим

Радиус кривизны считаем положительным.