9. Скорость и ускорение в сферических координатах.

В качестве примера использования полученных формул вычислим скорость и ускорение точки в сферических координатах. Сферическими координатами точки М являются величины (рис. 12). Координатной линией для r является прямая ( r ) c базисным вектором . Координатной линией для служит параллель сферы с базисным вектором и координатной линией - меридиан сферы с базисным вектором .

Базисные векторы оказались ортогональными. Декартовы координаты x, y, z точки М через сферические выражаются следующими зависимостями:

Вычисляя коэффициенты Ламэ, имеем:

;

Рис. 12

Проекции скорости на оси, направленные по базисным векторам, определяем по ранее полученной формуле (i=1,2,3). Получаем

После этого

Для квадрата скорости и функции Т имеем

Проекции ускорения на оси, направленные по базисным векторам, вычисляются по формулам (8). Имеем

Для вектора ускорения получаем

Модуль ускорения будет иметь следующее выражение:

Аналогично можно вычислить ранее полученные скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах.

Простейшие движения твёрдого тела. Сложное движение точки

1. Степени свободы и теорема проекциях скоростей.

Числом степеней свободы твёрдого тела называют число независимых параметров, определяющих положение тела относительно рассматриваемой системы отсчёта. Свободное твёрдое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы.

Теорема: при любом движении твёрдого тела проекции скоростей точек на прямую, соединяющую эти точки, равны (рис. 13).

Д ля доказательства теоремы используем зависимость радиус-векторов точек А и В:

.

Возведём обе части в скалярный квадрат. Имеем

но l=const для твёрдого тела. Дифференцируя по времени это выражение, справедливое для любого момента времени, получим

Рис. 13

Заменив в этом равенстве

получим

или

Раскрывая скалярные произведения векторов и сокращая на l, имеем

Теорема доказана.

2. Поступательное движение твёрдого тела

Поступательным движением твёрдого тела называют такое его движение, при котором любая прямая, жёстко скрепленная с телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению в каждый момент времени.

С войства поступательного движения характеризует следующая терема: при поступательном движении твёрдого тела траектории, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы.

Если выбрать две точки А и В твёрдого тела, то радиусы-векторы этих точек удовлетворяют условию (рис. 14)

Если продифференцировать по времени это выражение, справедливое для любого момента времени, то получим

Рис. 14

В этом соотношении , . Кроме того, для , постоянного по модулю и направлению вектора, . Таким образом, для любого момента времени имеем

.

Дифференцируя по времени и учитывая, что

, ,

получим

.

Поступательное движение твёрдого тела полностью характеризуется движением одной точки тела, т.е.

(1)

Следовательно, твёрдое тело, совершающее поступательное движение, имеет три степени свободы и уравнения (1) считаются уравнениями поступательного движения твёрдого тела.