- •Введение
- •Кинематика точки
- •1 . Векторный способ изучения движения
- •2 Рис. 1 . Скорость точки
- •3. Ускорение точки
- •4. Координатный способ изучения движения Задание движения и траектория
- •Скорость в декартовых координатах
- •Ускорение точки в декартовых координатах
- •5. Естественный способ изучения движения Естественный способ задания движения
- •Скорость точки при естественном способе задания движения
- •Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора
- •Ускорение точки при естественном способе задания движения
- •Частные случаи движения точки
- •6. Скорость и ускорение точки в полярных координатах.
- •7. Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах.
- •8. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
- •9. Скорость и ускорение в сферических координатах.
- •Простейшие движения твёрдого тела. Сложное движение точки
- •1. Степени свободы и теорема проекциях скоростей.
- •2. Поступательное движение твёрдого тела
- •3 . Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •С корости и ускорения точек тела
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •В екторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •4. Сложное движение точки
- •С ложение скоростей
- •Сложение ускорений при поступательном, переносном движении
- •П лоское движение твердого тела
- •1 . Уравнения плоского движения твердого тела
- •2. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •3. Скорости точек тела при плоском движении
- •4. Мгновенный центр скоростей
- •5. Вычисление угловой скорости при плоском движении
- •6. Ускорения точек тела при плоском движении
- •7. Мгновенный центр ускорений
- •8. Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении
- •9. Теоерма о конечном перемещении плоской фигуры
- •10. Мгновенный центр вращения. Центроиды
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела
- •1. Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку
- •2. Мгновенная ось вращения. Аксоиды
- •3. Угловая скорость и угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной точки
- •4. Скорости точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки
- •5. Ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной точки
- •6. Вычисление углового ускорения
- •7. Общий случай движения свободного твердого тела у равнения движения свободного твердого тела
- •Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае
- •Сложное движение точки в общем случае
- •1. Абсолютная и относительная производные от вектора. Формула бура
- •2. Сложение скоростей
- •3. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения
- •4. Ускорение кориолиса р ассмотрим ускорение Кориолиса и его свойства. Оно определяется формулой
- •Сложение движений твердого тела
- •1. Сложение поступательных движений твердого тела
- •2. Сложение вращательных движений твердого тела
- •3. Сложение поступательного и вращательного движений
- •Экзаменационные вопросы
- •Экзаменационые задачи
3. Сложение поступательного и вращательного движений
Если тело одновременно участвует в переносном поступательном движении со скоростью и относительном вращательном с угловой скоростью , то в зависимости от их взаимного расположения целесообразно рассмотреть три отдельных случая.
1 . Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения. В этом случае векторы и перпендикулярны (рис.53). На линии ОС, перпендикулярной плоскости в которой расположены и , имеется точка С, скорость которой равна нулю. Определяем ее расстояние от точки О.
По теореме сложения скоростей для точки С имеем
,
так как при вращении вокруг оси
Рис.
53
Учитывая, что скорости и противоположны по направлению, получим
.
Так как , то и, следовательно, точки С и О находятся на расстоянии
.
Другие точки, имеющие скорости, равные нулю, располагаются на линии, проходящей через точку С, параллельно оси вращения тела с угловой скоростью . Таким образом, имеется мгновенная ось вращения, параллельная оси относительного вращения и проходящая через точку С.
При сложении поступательного переносного и вращательного относительного движений твердого тела, у которого скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения, эквивалентное абсолютное движение является вращением вокруг мгновенной оси, параллельной оси относительного вращения с угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью относительного вращения.
2 . Винтовое движение. Движение, при котором скорость переносного поступательного движения тела параллельна оси относительного вращения, называется в и н т о в ы м д в и ж е н и е м т в е р д о г о т е л а (рис.54). Ось вращения тела в этом случае называется в и т о в о й о с ь ю. При винтовом движении тело движется поступательно параллельно оси винтового движения и вращается вокруг этой оси. Винтовое движение не приводится к какому-либо другому одному простому эквивалентному движению.
П
Рис.
54
Для точки М имеем
Но , , где r – расстояние точки до винтовой оси. Скорости и перпендикулярны. Следовательно,
Учитывая, что , получаем
Если тело вращается с постоянной угловой скоростью и имеет постоянную скорость поступательного движения, то такое движение тела называется п о с т о я н н ы м в и н т о в ы м движением. В этом случае точка тела при движении все время находится на поверхности кругового цилиндра с радиусом r. Траекторией точки является винтовая линия. Кроме параметра в рассматриваемом случае вводят шаг винта, т. е. расстояние, на которое переместится какая-либо точка тела при одном обороте тела вокруг оси винтового движения. Угол поворота тела при вычисляется по формуле . Для одного оборота тела . Необходимое для этого время .
За время Т точка переместится в направлении, параллельном винтовой оси, на шаг винта .
Отсюда получается зависимость шага винта от параметра винтового движения .
Уравнения движения точки М тела по винтовой линии (рис.102) в декартовых координатах выражаются в следующей форме:
;
;
.
В этих уравнениях величины и являются постоянными.
3. Общий случай. Пусть скорость переносного поступательного движения и угловая скорость относительного вращения образуют угол . Случай когда , и , уже рассмотрены.
Разложим скорость (рис.55) на две перпендикулярные составляющие и , причем направим параллельно .
Т
Рис.
55
Переносное движение со скоростью и относительное вращение с угловой скоростью эквивалентны вращению вокруг оси, проходящей через точку С с угловой скоростью (согласно случаю первому), причем .
Скорость поступательного движения имеют все точки тела. Таким образом, получено винтовое движение с винтовой осью, отстоящей от первоначальной оси вращения на величину .
Параметр полученного винтового движения .
Общий случай переносного поступательного и относительного вращательного движений твердого тела оказался эквивалентным мгновенному винтовому движению.