Ускорение точки при естественном способе задания движения

Учитывая, что для скорости точки имеем

а в соответствии с определением ускорения получаем

так как и направлен внутрь вогнутости траектории параллельно единичному вектору главной нормали .

Получено разложение ускорения точки по осям естественно­го трехгранника. Часть ускорения

называется касательной составляющей ускорения. Другая часть ускорения

называется нормальной составляющей ускорения. Она направле­на внутрь вогнутости траектории, т. е. в сторону положительно­го направления единичного вектора главной нормали , так как внутрь вогнутости траектории направлено полное ускоре­ние. Таким образом, ускорение точки

(*)

П олучим формулы для проекций ускорения на естественные оси. Имеем:

Проекция ускорения нa положительное на­правление касательной, совпадающее с на­правлением единичного вектора , называ­ется касательным ускорением, а на главную нормаль, направленную по единичному вектору , -нормальным ускорением. Про­екция ускорения на бинормаль, направ­ленную по единичному вектору , равна нулю; следовательно, ускорение точки расположено в соприкасающейся плоскости траектории.

У

Рис. 9

читывая ортогональность и (рис. 9), в соответствии с уравнением (*) имеем

Нормальная составляющая ускорения всегда направлена внутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая при направлена в положительную сторону касательной, т. е. по направлению единичного вектора , а при – в отрицательную, противоположно .

Частные случаи движения точки

Равномерное движение.

если принять при t = 0, s = 0

Равнопеременное движение.

(*)

Так как , то с учетом (*)

если при t = 0, s = 0. Выполняя интегрирование, получим

6. Скорость и ускорение точки в полярных координатах.

П римем какую-либо точку О плоскости за полюс и проведем из неё полярную ось, например ось Ох (рис. 10). Положение движущейся точки М на плоскости известно, если заданы радиус-вектор r и полярный угол как функции времени, т. е.

(1)

Полярный угол считается положительным, если он откла­дывается от полярной оси до радиуса - вектора против часовой стрелки. Радиус-вектор как расстояние от точки О до точки М принимает только положительные значения.

У

Рис. 10

равнения (1) называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Они являются также уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если из (1) исключить параметр - время t, то получим уравнение траек­тории в полярных координатах:

Введем единичный вектор , направленный по радиусу-век­тору от полюса О к точке М. Тогда

Для скорости получаем

Где вместо единичного вектора введён единичный вектор , направление которого получается поворотом вектора на в положительном направлении угла , т.е. против часовой стрелки (рис. 10). После этого для скорости точки получаем

Это разложение скорости точки на радиальную и трансверсальную (поперечную) составляющие, т.е.

где

,

,

Определим ускорение точки в полярных координатах. Имеем

Выполняя дифференцирование, получаем

Для производной по времени от единичного вектора имеем

,

Так как вектор поворачивается с той же угловой скоростью , что и вектор , а единичным вектором, по которому направлен вектор , является вектор .

После подстановки в выражение для ускорения производных от единичных векторов и объединения слагаемых имеем

.

Получили разложение ускорения точки на радиальную и трансверсальную составляющие, т.е.

, , .

Для проекций ускорения на оси Or и Op получаем

, .

Ускорение называется радиальным, а - трансверсальным. Трансверсальное ускорение можно выразить также в форме

Радиальная и трансверсальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому