- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
Пусть дан произвольный вектор . Пусть - произвольная ось. Обозначим через основания перпендикуляров, опущенных на ось из точек соответственно.
Проекцией вектора называется величина .
Проекцию вектора на ось будем обозначать символом . Построение проекции вектора на ось иллюстрируется на чертеже (1).
Рис.
Углом наклона вектора к оси называется угол между двумя лучами, выходящими из произвольной точки , один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора , а другой – направление, совпадающее с направлением оси .
Теорема 4.1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла наклона вектора к оси .
Доказательство. Пусть – ось, проходящая через начало вектора и имеющая то же направление, что и ось . Пусть – основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось . - основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно на ось . Тогда , где - величина направленного отрезка .
(Рис2)
Возможны два случая. 1. Направленный отрезок имеет направление, совпадающее с направлением оси . (рис.2)
2. Направленный отрезок имеет направление противоположное к направлению оси . (рис.3).
Заметим, что в первом случае (рис 2) – угол наклона вектора к оси будет острым, во втором случае (рис 3) тупым.
Рассмотрим случай 1.
Для рассматриваемого случая имеем . Четырехугольник является прямоугольником. Поэтому .
Из прямоугольного треугольника имеем
Так как, по определению , из равенств (2), (3), (4) находим
Тем самым, для случая 1 теорема доказана. Случай 2 рассматривается аналогично.
Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат с началом в точке и тройку векторов единичной длины, приложенных к точке , имеющих направления, совпадающие с направлениями этих осей соответственно.
Теорема 4.2. Для любого вектора существует единственная тройка чисел такая, что
при этом , , .
Доказательство. Приложим вектор в точке и проведём через его конец плоскости, параллельные координатным плоскостям . Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно .
Очевидно, что . Т.к. , мы находим .
Из определения величины и из того, что следует, что . Так как проекция вектора на ось по определению есть величина , то из последнего равенства получим . Аналогично доказывается справедливость следующих равенств: = = . Учитывая эти равенства в равенстве (6), найдем
= + + . (7)
Введем обозначения , запишем равенство (7) в виде
Единственность легко получить с помощью геометрических рассуждений.
Числа , в равенстве (5) называются координатами вектора Тот факт, что являются координатами вектора , обозначается следующим образом: .
Теорема 4.3. Пусть в прямоугольной системе координат даны произвольные две точки , . Тогда координаты вектора соответственно равны
Доказательство. Обозначим через и основания перпендикуляров, опущенных из точек на ось . Тогда по определению , , где – величины направленных отрезков и
Согласно теореме 1.1 гл.3, величина направленного отрезка равна . С другой стороны величина является проекцией вектора на ось . Следовательно является координатой вектора . Аналогично доказывается равенство и .
Замечание. Если точки и расположены в плоскости , то для координат вектора справедливы равенства и .
Теорема 4.4. При сложении двух векторов и их координаты складываются. При умножении вектора на любое число 𝜆 все его координаты умножаются на это число.
Доказательство. Пусть , . Складывая эти равенства и пользуясь свойствами линейных операций, получим
.
Из последних равенств вытекает утверждение теоремы.
Теорема 4.5. При сложении двух векторов и их проекции на произвольную ось складываются. А при умножении вектора на любое число 𝜆 его проекция на произвольную ось умножается на число 𝜆.
Доказательство. Пусть даны произвольные векторы , и ось . Введём декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось совпадала с осью .
Пусть в введённой системе координат , . Тогда в силу теоремы 4.4
и .
Следовательно и Теорема доказана.