- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
2. Второе правило Лопиталя.
Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределённость типа , если или .
Теорема 2.2. (Второе правило Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может самой точки . Пусть далее или и всюду в указанной окрестности точки . Тогда если существует предел (конечный или бесконечный), то существует и предел , причём справедлива формула
Теорема 2.2 приводится без доказательства.
3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
Неопределённость вида можно свести к неопределённостям и . Покажем это на примерах.
Пример 1. .
Пример 2. .
Неопределённости вида , возникают при рассмотрении пределов . Эти неопределённости сводятся к неопределённости с помощью тождества
Пример 3. .
Аналогично раскрываются и неопределённости .
§3. Формула Тейлора
1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Устанавливаемая в этом параграфе формула является одной из основных формул математического анализа и имеет многочисленные приложения, как в самом анализе, так и в смежных дисциплинах.
Теорема 3.1. (Теорема Тейлора). Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную порядка . Пусть - любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками и найдётся точка такая, что справедлива следующая формула:
где
Слагаемое называется остаточным членом формулы Тейлора. Представление остаточного члена в виде равенства (2) называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Приведём доказательство теоремы 3.1.
Обозначим через многочлен относительно степени .
Многочлен называется многочленом Тейлора степени для функции .
Обозначим через разность между функцией и многочленом Тейлора, т.е.
Теорема будет доказана, если установить справедливость равенства (2).
Фиксируем любое значение из указанной окрестности точки . Для определённости будем считать, что . Обозначим через новую переменную, изменяющуюся на отрезке и рассмотрим на отрезке вспомогательную функцию
где
Так как функция раз дифференцируема в окрестности точки , функция дифференцируема в каждой точке указанной окрестности. Тогда в этой окрестности дифференцируема и функция .
Так как функция раз дифференцируема в окрестности точки , функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Кроме этого:
Таким образом . Следовательно функция удовлетворяет на сегменте всем условиям теоремы Ролля. Согласно теореме Ролля существует точка такая, что
Вычислим производную . Дифференцируя равенство (5) по , имеем
Нетрудно заметить, что все члены в правой части равенства, за исключением последних двух, взаимно уничтожаются. Таким образом,
Полагая в (7) и используя равенство (6), получим
откуда
Теорема доказана.
2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
Введём следующее определение: функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем при , если
Тот факт, что функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем при обозначается следующим образом:
Положим в формуле Тейлора (1)
Тогда
где .
При из формулы (8) получается формула Лагранжа
Покажем, что если функция ограничена в окрестности точки , то остаточный член является бесконечно малой более высокого порядка, чем при , т.е.
так как функция ограничена, а бесконечно малая функция при . Таким образом
Формула (6) называется остаточным членом в форме Пеано.