- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
Множество всех прямых плоскости, проходящих через данную точку , будем называть пучком прямых, проходящих через точку .
Пучок прямых, проходящих через точку будем обозначать .
Рассмотрим множество всевозможных прямых, проходящих через некоторую точку и не параллельных оси . Пусть – уравнение произвольной прямой из указанного множества. Тогда . Подставляя найденное выражение для коэффициента в уравнение прямой, получим
Уравнение любой прямой, проходящей через точку и не параллельной оси , получается из уравнения (42) при соответствующем подборе углового коэффициента . Это уравнение называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку
Пусть прямые заданные общими уравнениями
пересекаются в единственной точке .
Справедлива следующая теорема:
Теорема 2.2. Для того, чтобы прямая ,заданная общим уравнением принадлежала пучку прямых, проходящих через точку , необходимо и достаточно, чтобы существовали такие действительные числа и β, , что , , .
Доказательство. Докажем сначала достаточность.
Пусть выполнены равенства (45) Докажем, что прямая принадлежит пучку . Для этого достаточно доказать справедливость равенства
Так как, точка принадлежит как прямой , так и прямой , то её координаты , удовлетворяют равенствам
. (46)
Рассмотрим выражение . Подставляя в место коэффициентов соответствующие выражения из равенств (45), получим
Достаточность доказана.
Докажем необходимость. Пусть прямая задана её общим уравнением принадлежит пучку , т.е. проходящих через точку .
Покажем, что существуют такие действительные числа и β, , что верны равенства (45).
Пусть произвольная, отличная от , точка прямой . Положим . Поскольку точка не может одновременно лежать на , то по крайней мере одно из чисел или отлично от нуля.
Рассмотрим прямую заданную уравнением
(47)
Из равенств
.
Следует, что точки и лежат на прямой, заданной уравнением (47).
Так как, через две различные точки и проходит единственная прямая, то прямая совпадает с прямой, заданной уравнением (47). Необходимость доказана.
Из теоремы следует, что прямая с общим уравнением принадлежит пучку прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых
Тогда и только тогда, когда уравнение прямой можно представить в виде
Заметим, что уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения прямых можно получить путём соответствующего подбора и β.
В частности, если , , мы получим уравнение прямой . Если , мы получим уравнение прямой .
10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Нормированным уравнением прямой называется уравнение вида , которое получается из общего уравнения путём деления его на длину нормального вектора .
Расстояние от точки до прямой.
Докажем, что расстояние точки до прямой, заданной общим уравнением равно
Доказательство. Рассмотрим на плоскости произвольную прямую , определяемую общим уравнением и вектор .
Единичный вектор коллинеарен вектору , а поэтому ортогонален к прямой . Приложим вектор к началу координат. Пусть - точка пересечения прямой, на которой лежит вектор и прямой . Возьмём на плоскости произвольную точку , а на прямой -произвольную точку . Пусть – проекция точки на прямую, на которой лежит вектор . Тогда очевидно, что и будет расстоянием от точки до прямой . Пусть - угол между векторами и тогда
Справедливость формулы (49) доказана.