- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
Теорема 1.5. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная этой функции была положительной (соответственно отрицательной) в каждой точке интервала .
Доказательство. Достаточность. Пусть (соответственно ) всюду на интервале . Докажем, что функция возрастает (убывает) на интервале . Пусть и – произвольные точки интервала , удовлетворяющие условию . Тогда функция дифференцируема (а стало быть и непрерывна) на сегменте . Поэтому к можно применить теорему Лагранжа, в результате чего получим:
где .
Т.к. и из равенства (7) получим что означает возрастание (убывание) функции . Теорема 1.5 доказана.
Замечание. Подчеркнём, что условие (соответсовенно ) не является необходимым условием возрастания (соответственно убывания) функции на интервале . Так функция возрастает всюду на числовой прямой, в частности на интервале , однако, производная этой функции не является положительной на этом интервале. (Она обращается в нуль в точке ).
5. Формула Коши.
Теорема 1.6. (Теорема Коши). Если функции и непрерывны на сегменте , дифференцируемы в каждой точке интервала , и если кроме того производная отлична от нуля всюду на интервале , то существует точка из интервала , такая, что справедлива формула:
называемая формулой Коши.
Доказательство. Прежде всего убедимся, что . Действительна, если бы , то для функции выполнялись бы все условия теоремы Ролля. Тогда по этой теореме существовала бы точка , такая, что , что противоречит условию теоремы 1.6. Итак . Рассмотрим следующую функцию
Очевидно, что функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале . Кроме того
Следовательно выполнены все условия теоремы Ролля, согласно которой найдётся точка , такая что
Вычислим производную . Из равенства (9) имеем
Из равенства (12) и (13) имеем
или
Теорема 1.6 доказана.
Замечание. Формула Лагранжа (4) пункта 3 настоящего параграфа является частным случаем формулы Коши (8) при .
§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
1. Первое правило Лопиталя.
Будем говорить, что отношению двух функций представляет собой при неопределённость вида , если
Раскрыть эту неопределённость, значит вычислить предел (при условии, что этот предел существует).
Справедлива следующая теорема
Теорема 2.1. (Первое правило Лопиталя).
Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть далее и производная отлична от нуля всюду в указанной окрестности точки . Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
то существует и предел , причём справедлива формула
Доказательство. Пусть – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к и состоящая из чисел, отличных от . Будем предполагать, что все члены последовательности принадлежат окрестности точки , в которой определены функции и . Доопределеним функции и в точке , считая их равными нулю в этой точке, т.е. . Тогда при любом функции и будут непрерывны на сегменте , если и на , если , дифференцируемы на интервале и по условию . Таким образом для функций и выполнены все условия теоремы Коши на сегменте . Тогда существует точка , такая, что
Т.к. , то получим
Т.к. и , следует, что последовательность также сходится к числу . . Из равенства (3) находим
Из существования предела следует существование предела в правой части равенства (4), следовательно существует и предел в левой части равенства (4), причём
Т.к. – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к , то отсюда заключаем, что существует предел .
Замечание 1. Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применить повторно. Т.е.
Замечание 2. Теорема 2.1 остаётся верной и в случае, когда . Действительно, пусть например и существует (конечный или бесконечный). Обозначим через величину . . Тогда при .
Функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , при этом в некоторой окрестности точки . . Тогда к правой части равенства можно применить первое правило Лопиталя, вследствие чего получим
Из последнего равенства и равенства (6) находим