- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
Пусть подмножество множества действительных чисел ℝ.
Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число , что для любого справедливо неравенство .
При этом число называется верхней гранью (нижней гранью) множества .
Заметим, что любое ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних граней. Действительно, если одна из верхних граней этого множества, то любое число , большее является его верхней гранью. Аналогично любое ограниченное снизу множество имеет бесконечное множество нижних граней. Так, например, множество всех отрицательных вещественных чисел ограничено сверху. В качестве верхней грани этого множества можно взять любое неотрицательное вещественное число.
Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества , называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом .
Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом .
Приведем другие, эквивалентные определения точной верхней и точной нижней граней множества.
Число называется точной верхней гранью (точной нижней гранью) ограниченного сверху (снизу) множества , если выполнены следующие два требования: 1) . 2) .
В этом определении требование 1) означает что число является одной из верхних (нижних) граней множества . Требование 2) означает, что если уменьшить (увеличить) число на произвольное положительное число 𝜀, то число перестает быть верхней (нижней) гранью множества .
Естественно возникает вопрос, существует ли точная верхняя (точная нижняя) грань у любого ограниченного сверху (снизу) множества. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
** Теорема 2.1. Если непустое множество вещественных чисел ограничено сверху (снизу), то существует единственное число , которое является точной верхней гранью (точной нижней гранью) этого множества.
Теорема 2.1 приводится без доказательства.
Заметим, что у рассмотренного выше множества всех отрицательных вещественных чисел существует точная верхняя грань , причём это число не принадлежит множеству .
В общем случае числа и могут, как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему. Например, для множества натуральных чисел точной нижней гранью будет число 1, которое принадлежит множеству натуральных чисел.
Множество вещественных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. существуют вещественные числа и , такие, что для любого справедливы неравенства .
Из теоремы 2.1 следует, что у каждого непустого ограниченного множества существуют точная нижняя и точная верхняя грани.
4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
Справедливо следующее утверждение:
Теорема 2.2. Для произвольного натурального и произвольного действительного числа найдутся два рациональных числа и , такие, что и .
Доказательство. Приведём доказательство для случая неотрицательного числа . Представим число бесконечной десятичной дробью . Фиксируем номер и оборвав указанную десятичную дробь на n-ном знаке после запятой, мы получим рациональное число . Прибавив к рациональному числу рациональное число , мы получим другое рациональное число . Очевидно, что .
Из правил сравнения вещественных чисел следует, что . Для случая неотрицательного утверждение доказано.
Случай неположительного сводится к рассмотренному случаю путём перехода к модулям.
Приведенная теорема имеет важное практическое значение, так как любое вещественное число можно заменить рациональным числом с требуемой степенью точности.
Важнейшим вопросом теории вещественных чисел является вопрос об определении операций сложения и умножения действительных чисел и о свойствах этих операций.
Начнём с определения операции сложения вещественных чисел. Известно как на практике складывают два вещественных числа : их заменяют с требуемой степенью точности рациональными числами и и за приближённое значение их суммы берут сумму указанных рациональных чисел. При этом предполагается, что чем точнее рациональные числа и приближают вещественные числа соответственно, тем точнее сумма приближает то вещественное число, которое должно являться суммой вещественных чисел .
Приведенное выше практическое правило лежит в основе определения суммы двух вещественных чисел. Суммой вещественных чисел и называется такое вещественное число , которое удовлетворяет неравенствам
для любых рациональных чисел , , , удовлетворяющих неравенствам
.
Оказывается, что такое вещественное число существует, и притом только одно. При этом таким числом является точная верхняя грань множества сумм всех рациональных чисел и , удовлетворяющих неравенствам и .
Аналогичным образом вводится понятие произведения двух положительных вещественных чисел.
Произведением положительных вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее неравенствам , где , , , - произвольные положительные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам
Точно так же, как и для суммы, такое число существует, и притом только одно. Оказывается, таким числом является точная верхняя грань множества , где , - произвольные положительные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам
Произведение вещественных чисел произвольного знака определяется следующим образом:
1) считают, что
2) считают, что
Введём теперь понятие разности и частного двух действительных чисел.
Разностью действительных чисел и называется такое число , что . Разность чисел и обозначается .
Частным двух вещественных чисел и , где называется такое вещественное число , что .
Итак, для действительных чисел мы ввели правило сравнения и операции сложения и умножения. Оказывается, для множества действительных чисел переносятся все 13 основных свойство сформулированных в пункте 1 параграфа 1.
В заключение отметим, что множество действительных чисел уже нельзя расширить до более широкого множества, в котором остались бы справедливыми правила сравнения, сложения, умножения и 13 основных свойств, т.е. множество вещественных чисел является полным относительно трёх указанных правил и 13 основных свойств.