- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
2. Точки перегиба графика функции.
Пусть функция дифференцируема на интервале , а – произвольная точка интервала . Предположим, что функция имеет определённое направление выпуклости на каждом из интервалов и .
Определение 5.2. Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет разные направления выпуклости.
На рисунке изображён график функции, имеющей перегиб в точке .
Теорема 5.3. (Необходимое условие перегиба графика функции).
Если график функции имеет перегиб в точке и если функция имеет непрерывную вторую производную в точке , то .
Доказательство. Предположим обратное, т.е. . Тогда или . Рассмотрим случай , тогда по теореме 5.2 существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет выпуклость, направленную вниз, что противоречит наличию перегиба графика функции в точке . Полученное противоречие доказывает теорему. Случай рассматривается аналогично.
Теорема 5.4. (Первое достаточное условие перегиба)
Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки , то график этой функции имеет перегиб в точке .
Доказательство. Т.к. вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки , то, согласно теореме 5.1 график функции имеет слева и справа от точки разные направления выпуклости, что означает наличие перегиба у графика функции в точке . Теорема доказана.
Теорема 5.5. (Второе достаточное условие перегиба).
Если функция имеет в точке конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям , то график этой функции имеет перегиб в точке .
Доказательство. Итак , . Для определённости будем считать, что . Тогда по определению производной третьего порядка
Т.к. , то
По предположению , поэтому такое, что для всех , для которых выполнены неравенства , справедливо неравенство . Пусть , тогда из неравенства (1) получим , т.е. вторая производная отрицательна слева от точки . Пусть теперь , тогда из неравенства (1) получим , т.е. вторая производная положительна справа от точки .
Итак, вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки . При этом
. Тогда по теореме 5.4 график функции имеет перегиб в точке . Аналогично рассматривается случай . Теорема 5.5 доказана.
§6. Асимптоты графика функции.
Определение 6.1. Будем говорить, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен или .
Пример. График функции имеет вертикальную асимптоту , т.к. ,
.
Определение 6.2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если функция представима в виде
где .
Теорема 6.1. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства:
Доказательство. Необходимость.
Пусть прямая является наклонной асимптотой графика функции при . Тогда функция представима в виде
, где . Поделим обе части равенства (1) на и перейдём к пределу в полученном равенстве при , получим
Рассмотрим теперь предел
Достаточность.
Пусть выполнены равенства (2). Тогда из существования предела следует, что разность является бесконечно малой при . Обозначив эту бесконечно малую функцию , получим для функции представление (1). Теорема доказана.
В заключение данного параграфа приведём схему исследования графика функции.
Целесообразно провести следующие исследования.
Установить область определения функции.
Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных)
Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.
Найти области сохранения выпуклости и точки перегиба.
Найти точки пересечения графика функции с осями и .
После проведения указанных исследований легко строится эскиз графика функции. §7. Глобальные максимум и минимум функции на сегменте.
Пусть функция непрерывна на сегменте , тогда в силу второй теоремы Вейерштрасса существуют точки и сегмента такие, что .
Иными словами функция достигает в точке своего глобального максимума, а в точке - глобального минимума.
Естественно возникает вопрос: как найти точки глобального максимума и глобального минимума и .
Приведём описание процесса нахождения глобального максимума и соответствующей точки .
Пусть - какая-то точка глобального максимума. Указанная точка либо находится внутри сегмента ? Либо совпадает с одной из точек и . Если находится внутри сегмента , то она совпадает с одной из точек локального максимума функции / Предположим, что внутри сегмента существует конечное множество точек локального максимума функции , пусть эти точки . Тогда число будет совпадать с числом . В качестве точки можно взять тут точку из множества , в которой соответствующее значение функции будет наибольшим. Аналогично находится число и соответствующая точка .