![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
§1 Локальный экстремум функции.
1. Теорема Ферма. (Необходимое условие локального экстремума).
Определение
1.1. Точка
называется точкой локального максимума
(минимума) функции
,
если существует такая
окрестность точки
,
что для любой точке
справедливо неравенство
.
Если в определении
1.1 вместо неравенства
требовать выполнение неравенства
,
то такая точка
называется точкой строгого локального
максимума (минимума) функции
.
Определение 1.1. (Теорема Ферма о необходимом условии локального экстремума).
Пусть функция
определена на интервале
и пусть в точке
локальный экстремум. Тогда
если
дифференцируема в
,
то
.
Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .
Доказательство.
Рассмотрим случай, когда функция
имеет в точке
локальный максимум. Тогда существует
такая
окрестность точки
,
что
,
т.е.
Т.к. функция дифференцируема в точке , то существуют правая и левая производные в точке , при этом
По определению правой производной
Т.к.
,
то
,
следовательно, из неравенства (1) имеем
.
Тогда такому неравенству удовлетворяет
,
т.е.
.
Рассмотрим теперь
.
Т.к.
,
то
,
тогда из неравенства (1) следует
.
Следовательно
Итак, мы доказали,
что
и
,
что возможно только в случае
.
Аналогично рассматривается случай локального минимума.
Теорема 1.1 доказана.
Теорема 1.1 имеет простой геометрический смысл: если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке локальный экстремум, тогда касательная проведённая к графику функции в точке параллельна оси .
2. Теорема Ролля.
Теорема 1.2.
Если функция
непрерывна на сегменте
и имеет производную во всех точках
интервала
,
кроме того
,
то внутри сегмента найдётся такая точка
,
производная
в которой равна нулю.
Доказательство.
Так как функция
непрерывна на сегменте
,
то по второй теореме Вейерштрасса она
достигает на сегменте
своих наибольшего и наименьшего значений.
Т.е. существуют такие точки
,
что
.
При этом
Возможны два
случая: 1.
В первом случае
.
Поэтому производная
функции
равна нулю в любой точке
,
т.е. для этого случая теорема доказана.
Во втором случае,
т.к.
,
то хотя бы одно из двух значений
или
не принимается на концах сегмента
,
т.е. существует такая точка
,
в которой функция
принимает наибольшее или наименьшее
значение на интервале
.
Тогда по теореме 1.1 (теорема Ферма)
.
Теорема 1.2 доказана.
Теорема Ролля
имеет простой геометрический смысл:
если
для непрерывной на сегменте
и дифференцируемой на интервале
функции, то на графике функции
существует точка
,
в которой касательная к графику
параллельна
.
3. Теорема Лагранжа.
Теорема 1.3. Если функция непрерывна на сегменте и дифференцируема в каждой точке интервала , то существует такая точка , что
Формула (4) называется формулой Лагранжа.
Доказательство.
Рассмотрим функцию
,
определённую на сегменте
.
Заметим, что для функции
выполнены все условия теоремы Ролля.
Действительно, функция
непрерывна как разность непрерывных
функций
и
.
Функция
дифференцируема в каждой точке интервала
как разность указанных дифференцируемых
на интервале
функций. И, наконец,
и
,
т.е.
.
Тогда по теореме Ролля существует точка
,
такая, что
.
Вычислим
.
Из равенства (6)
следует, что
или
Теорема доказана.
Теорема Лагранжа
также имеет простой геометрический
смысл. Прежде всего заметим, что величина
является угловым коэффициентом секущей,
проходящей через точки
и
кривой
,
а
является угловым коэффициентом
касательной, проведённой к графику
функции
в точке
.
В теореме Лагранжа утверждается, что
между точками
и
найдётся точка
,
касательная в которой параллельна
секущей
.
Теорема 1.4.
Если функция
дифференцируема в каждой точке интервала
и если в каждой точке
указанного интервала
,
то функция
является постоянной на интервале
.
Доказательство.
Рассмотрим произвольные две точки
и
интервала
.
Тогда
,
поэтому функция
дифференцируема, а стало быть и непрерывна
на сегменте
.
Тогда по теореме Лагранжа
,
где
.
Т.к.
,
то получим
.
Т.е. значения функции
в произвольных точках
и
совпадают, т.е.
.
Теорема доказана.
Теорема 1.4 имеет простой геометрический смысл: если касательная к графику функции проведённая в любой точке , где параллельна оси , то график функции представляет собой отрезок прямой, параллельной .