![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 1. Матрицы
- •§1 Понятие матрицы
- •§2. Операции над матрицами
- •§3 Элементарные преобразования матриц
- •§4. Определители
- •§5. Обратная матрица
- •§6. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •§1. Постановка задачи. Терминология.
- •§2 Системы с квадратной невырожденной матрицей.
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§5.Системы общего вида
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •Глава 3. Векторная алгебра.
- •§1. Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •§5. Скалярное произведение двух векторов.
- •Глава 4. Основы аналитической геометрии
- •§1. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •§2. Различные виды уравнений прямой на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых.
- •1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •9. Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
- •10. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
- •§3. Кривые второго порядка.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
- •Глава 5. Элементы математического анализа
- •§1. Множества. Операции над множествами.
- •§2. Вещественные числа и их основные свойства
- •1. Рациональные числа и их основные свойства.
- •2. Вещественные числа и правило их сравнения.
- •3. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
- •4. Операция сложения и умножения вещественных чисел.
- •§ 3. Числовые последовательности.
- •1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
- •2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности и их свойства.
- •4. Монотонные последовательности.
- •§4. Функция и её предел.
- •Односторонние пределы.
- •4. Предел функции при и при .
- •5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7. Замечательные пределы.
- •§5. Непрерывные функции.
- •2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •3. Примеры непрерывных функций.
- •4. Классификация точек разрыва.
- •5. Основные свойства непрерывных функций.
- •6. Понятие сложной функции.
- •7. Понятие обратной функции.
- •Глава 6. Основы дифференциального исчисления.
- •§1. Производная.
- •1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности.
- •2. Определение производной.
- •3. Геометрический смысл производной.
- •4. Физический смысл производной.
- •5. Правая и левая производные.
- •6. Понятие дифференцируемости функции.
- •7. Понятие дифференциала функции.
- •§2. Дифференцирование сложной функции и обратной функции.
- •1. Дифференцируемость сложной функции.
- •2. Дифференцируемость обратной функции.
- •3. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •§3. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функции.
- •§4. Производные простейших элементарных функций.
- •12. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •13. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.
- •13. Логарифмическая производная степенно-показательной функции.
- •§5. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •1. Понятие производной -го порядка.
- •3. Формула Лейбница для -й производной произведения двух функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
- •§1 Локальный экстремум функции.
- •2. Теорема Ролля.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.
- •5. Формула Коши.
- •§2. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)
- •1. Первое правило Лопиталя.
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •§3. Формула Тейлора
- •1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме Пеано.
- •3. Формула Маклорена.
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •§4. Достаточное условие экстремума.
- •1. Первое достаточное условие экстремума.
- •2. Второе достаточное условие экстремума.
- •3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
- •§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •1. Направление выпуклости графика функции.
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •§6. Асимптоты графика функции.
- •Глава 8. Неопределённый интеграл.
- •§1. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.
- •1. Понятие первообразной функции.
- •2. Неопределённый интеграл.
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла.
- •4. Таблица основных интегралов.
- •§2. Основные методы интегрирования.
- •1. Интегрирование заменой переменной.
- •2. Метод интегрирования по частям.
- •Глава 9. Определённый интеграл.
- •§1. Понятие определённого интеграла.
- •1. Интегральная сумма и её предел.
- •2. Верхние и нижние суммы.
- •§2. Свойства определённого интеграла.
- •§3. Существование первообразной у любой непрерывной функции.
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Замена переменной в определённом интеграле.
- •3. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
- •§5. Несобственные интегралы.
- •1. Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •§6. Геометрические и физические приложения определённого интеграла.
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •2. Площадь криволинейного сектора.
- •3. Длина дуги плоской кривой.
- •5. Площадь поверхности вращения.
- •6. Физические приложения определённого интеграла.
2. Второе достаточное условие экстремума.
В некоторых случаях исследование знака первой производной слева и справа от точки возможного экстремума затруднено. В таких случаях целесообразно использовать второе достаточное условие экстремума. При этом приходится усиливать условие, накладываемое на функцию . Справедлива следующая теорема:
Теорема 4.2. (Второе достаточное условие экстремума)
Пусть функция
имеет в некоторой точке
конечную вторую производную
.
При этом
.
Тогда функция
имеет в точке
локальный максимум, если
и локальный минимум, если
.
(Рассмотрим случай
)
Доказательство. По определению, вторая производная функции в точке равна
Т.к. , из равенства (5) получим
По условию
.
Из определения предела функции и
равенства (5) имеем, что для положительного
числа
такое, что для всех
справедливы неравенства
или
Т.к.
,
то из последних неравенств следует, что
справедливо неравенство
для всех
,
удовлетворяющих неравенствам
.
Рассмотрим два случая
1)
2)
.
1) Если
,
то
и из неравенства (6) имеем
,
т.е. производная функции
положительна слева от точки
.
2) Если
,
то
и из неравенства (6) имеем
,
т.е. производная функции отрицательна
справа от точки
.
Тогда из первого достаточного условия
экстремума следует, что в точке
функция
имеет локальный максимум.
Пусть теперь
.
Рассмотрим функцию
,
тогда
,
,
следовательно
функция
имеет в точке
локальный максимум, но тогда функция
будет иметь в точке
локальный минимум. Теорема 4.2. доказана.
3. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.
При доказательстве теоремы 4.1 мы пользовались теоремой Лагранжа на сегменте , в случае, когда рассматривался интервал и и в случае интервала . Но в теореме Лагранжа вовсе не требуется, чтобы функция была дифференцируемой в точке , а требуется всего лишь непрерывность функции на указанном сегменте. Учитывая сказанное выше, заключаем, что справедлива следующая
Теорема 4.3. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема всюду в указанной окрестности за исключением точки . Тогда, если в указанной окрестности производная положительна (соответственно отрицательна) слева от точки и отрицательна (соответственно положительна) справа от точки , то функция имеет в точке локальный максимум (соответственно локальный минимум). Если же производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке нет.
Пример.
.
Эта функция непрерывна на всей бесконечной
прямой и дифференцируема в каждой точке,
за исключением одной точки
,
причём
при
и
при
.
Теорема 4.1 к этой функции неприменима,
а согласно теореме 4.3 она имеет минимум
в точке
.
§5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
1. Направление выпуклости графика функции.
Пусть функция дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда, как известно, в каждой точке графика функции существует касательная к графику данной функции, при этом эта касательная не параллельна .
Определение 5.1. Будем говорить, что график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (соответственно не выше) любой своей касательной.
Справедлива следующая теорема:
Теорема 5.1.
Пусть функция
дважды дифференцируема на интервале
и её вторая производная
неотрицательно (соответственно
неположительна) всюду на интервале
,
тогда график функции
имеет на указанном интервале выпуклость,
направленную вниз (вверх).
Доказательство.
Для определённости рассмотрим случай,
когда вторая производная
всюду на интервале
.
Пусть
- произвольная точка интервала
.
Нам нужно доказать, что график функции
в пределах интервала
лежит не ниже касательной, проходящей
через точку
.
Запишем уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке .
где через обозначена ордината текущей точки касательной.
Т.к. функция дважды дифференцируема на интервале ? То к функции , в окрестности точки можно применить формулу Тейлора, в результате чего получим
где
- некоторая точка, заключённая между
и
.
Учитывая, что
для любой точки
из равенства (2) получим
Сопоставляя
неравенство (3) и равенство (1), мы приходим
к выводу, что
.
Это неравенство доказывает, что график
функции
всюду в пределах интервала
лежит не ниже касательной, т.е. график
функции
имеет выпуклость, направленную вниз.
Аналогично
доказывается теорема для случая
.
Теорема 5.2. Пусть вторая производная функции непрерывна и положительна (соответственно отрицательна) в точке . Тогда существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх).
Доказательство.
Т.к.
непрерывна в точке
и
,
то по теореме 5.2 §5 гл. 5 об устойчивости
знака непрерывной функции найдётся
такая окрестность точки
,
в пределах которой вторая производная
положительна (соответственно отрицательна).
Тогда по теореме 5.1 график функции
имеет в пределах этой окрестности
выпуклость, направленную вниз
(соответственно вверх).
Теорема 5.2 доказана.