14. Напряжения в наклонных площадках при плоском и объемном напряженных состояниях. Обобщенный закон Гука

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю.

На рис.3.8 показано плоское напряженное состояние.

Частные случаи плоского напряженного состояния

 

Всестороннее растяжение

Напряженное состояние, при котором главные напряжения, действующие по граням параллелепипеда равны между собой   , называется всесторонним растяжением. В этом случае, получим

,    ,

,    ,

то есть, нормальные напряжения в любой произвольной площадке равны между собой  , а касательные напряжения равны нулю:   ,   .

 

Чистый сдвиг

Пусть по граням параллелепипеда действуют главные напряжения  ,   (рис.3.10).

Определим величины нормальных и касательных напряжений, действующих в площадках повернутых под углом 45^о к главным. Из формул (3.16) получим, что

Напряженное состояние, при котором по граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом, а площадки - площадками чистого сдвига.

Экспериментально установлено, что существует линейная зависимость между углом сдвига  и касательными напряжениями  (рис.3.11),являющейся законом Гука при сдвиге

,

где G – модуль сдвига, характеризующий способность материала сопротивляться сдвиговой деформации, т.е. характеризующая жесткость материала при сдвиге.

Величина модуля сдвига связана с модулем упругости при растяжении Е и коэффициентом Пуассона ν соотношением

Объемным или трехосным называется напряженное состояние, при котором все три главных напряжения отличны от нуля (рис.3.4).

Рассмотрим вопрос определения касательных напряжений в площадках, проходящих через одну из координатных осей x, y или z (рис.3.1).

Используя принцип независимости действия сил и результаты решения прямой задачи для линейного и плоского напряженных состояний, получим:

;    ;

;

При   = 45⁰, касательные напряжения достигают наибольших значений:

;      ;     ,

c учетом того, что  , получим:

Таким образом, площадка с наибольшим касательным напряжением наклонена под углом  =45⁰ к главным площадкам с напряжениями  и  .

Также можно доказать, что  .

 

Обобщенный закон Гука

Обобщенный закон Гука представляет собой связь между напряжениями и деформациями в случае объемного, и как частый случай, плоского напряженных состояний.

Он может быть получен на основании закона Гука для линейного напряженного состояния и принципа независимости действия сил.

Пусть задано произвольное объемное напряженное состояние с главными напряжениями  ,   и  . Представим его в виде суммы трех линейных напряженных состояний. Учитывая, что при линейном напряженном состоянии   и   запишем выражение для линейной относительной деформации в направлении  :

      

      Деформации в направлении действия главных напряжений равны

        ,

         ,

          .

Эти выражения носят название обобщенного закона Гука, записанного для главных площадок. Деформации  ,  ,  , в направлении главных напряжений называются главными деформациями.

Соотношения обобщенного закона Гука могут быть записаны для любых (не главных) площадок, но т.к. при этом будут действовать, кроме нормальных и касательные напряжения (рис.3.10), то необходимо добавить три соотношения для вычисления угловых деформаций. Таким образом, для произвольных площадок обобщенный закон Гука содержит 6 соотношений, связывающих деформации и напряжения:

,

,

,

;       ;       .