32. Эмпирические формулы для определения критических напряжений. Проверка сжатых стержней на устойчивость.
Известно [25], что впервые задачу об устойчивости сжатого стержня решил Л. Эйлер. Он определил величину критической силы для стержня с шарнирным опиранием по концам (рис.3.6).
Рис.3.6
|
(3.5) |
При 
формы
равновесия, определяемые формулой
(3.5), неустойчивы; для их существования
требуются дополнительные условия,
поэтому чаще всего формулу Эйлера
записывают в виде
|
(3.6) |
Значению критической силы (3.6) изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной
При условиях опирания стержня, отличных от шарнирного, (3.6) принимает вид
|
(3.7) |
где 
-
коэффициент приведения длины, зависящий
от условий опирания концов стержня.
Например, при одном свободном конце и
другом защемленном 
;
при одном шарнирном и другом защемленном 
;
при обоих защемленных концах 
В практических расчетах часто удобнее использовать не критическую силу, а критическое напряжение, которое с учетом (3.7) можно определить по формуле
|
(3.8) |
где
величина 
называется
гибкостью стержня (
— минимальный
радиус инерции поперечного сечения).
Формула
Эйлера получена при помощи интегрирования
дифференциального уравнения изогнутой
оси стержня; при этом предполагается,
что критические напряжения в момент
потери устойчивости не превышают предел
пропорциональности материала 
.
А это означает, что пределы применимости
формулы Эйлера также ограничены пределом
пропорциональности или, если в качестве
критерия использовать гибкость стержня 
,
величиной
|
(3.9) |
Очевидно,
что нижний предел величины
будет
различным при подстановке в (3.9) значений
модуля упругости и предела пропорциональности
разных материалов (например, для стали
Ст3 такая подстановка означает, что
формула Эйлера применима при 
).
При напряжениях, превышающих предел пропорциональности, решение задачи об устойчивости сжатого стержня распадается на два варианта. Так называемые ”короткие стержни” (с малым отношением длины к габаритному размеру сечения) на устойчивость не рассчитываются, так как они перестают работать от потери прочности раньше, чем от потери устойчивости.
Что
же касается стержней со ”средней”
гибкостью (для стали Ст3
это интервал 
),
то для них величина критической силы
определяется по эмпирической формуле
Ф. Ясинского
|
(3.10) |
где А –
площадь поперечного сечения; 
и 
–
коэффициенты, имеющие размерность
напряжений и зависящие от вида материала
(например, для стали Ст3 принимают a
= 310 МПа, b =1,14 МПа).
С
учетом изложенного для каждого материала
можно построить полный график зависимости
критических напряжений от гибкости. Для
стали Ст3 (
)
такой график представлен на рис.3.7.
Рис.3.7
График состоит из трех частей: гипербола Эйлера – участок ВС, наклонная прямая, соответствующая формуле Ясинского, – участок СД и горизонтальная или, точнее, слабо наклонная прямая ДК, отвечающая ”коротким” стержням.
В качестве примера расчета на устойчивость рассмотрим жестко защемленный стальной стержень ( ) прямоугольного поперечного сечения (рис.3.8).
Рис.3.8
При
указанных условиях гибкость стержня 
,
и критическая сила, вычисленная по
формуле Эйлера, составит 
.