12. Влияние собственного веса при растяжении и сжатии
Если
ось в стержне вертикальна, то его
собственный вес вызывает центральное
растяжение или сжатие. Если вертикальный
брус закреплен верхним концом, то от
собственного веса он растягивается, а
при закреплении нижнего конца - сжимается.
Собственный вес вертикального бруса
можно рассматривать как продольную
(осевую) внешнюю нагрузку, распределенную
вдоль оси бруса.
Рассмотрим
брус постоянного сечения, закрепленный
верхним концом. Продольная сила от
собственного веса в поперечном сечении
бруса на расстоянии х от
его нижнего конца равна весу нижележащей
части
бруса:
(1.4)
где
Nx -
продольная сила от собственного веса,
Н;
-
плотность материала, кг/м3;
g -
ускорение свободного падения, м/с2;
А -
площадь поперечного сечения бруса,
м2;
х -
расстояние от нижнего конца стержня,
м.
Напряжение
от собственного веса определяется по
формуле:
(1.5)
По
формулам (1.4) и (1.5) строятся эпюры N и 
с
учетом знаков. Если на стержень действует
дополнительная сила F,
то продольная сила и нормальное напряжение
определяются по
формулам:
(1.6)
(1.7)
Полное
удлинение (укорочение) стержня постоянного
сечения от собственного веса определяется
по
формуле:
(1.8)
где
l-
длина стержня, м;
Е -
модуль продольной упругости материала,
Па.
При
действии внешней силы Fи
собственного веса удлинение
стержня
определяется
по формуле:
(1.9)
В
формулах (1.7), (1.9) физический смысл первого
слагаемого - напряжение и удлинение от
внешней силы, второго - напряжение и
удлинение от собственного веса.
Перемещение
любого поперечного сечения бруса,
закрепленного верхним концом, равно
удлинению части бруса, лежащей над
сечением и равно сумме удлинений под
действием собственного веса верхней
части, нижней части бруса и внешней
силы.
13. Напряженное состояние при растяжении и сжатии
Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис.3.6).
Примером линейного напряженного состояния может служить осевое растяжение-сжатие.
Рассмотрим задачу определения напряжений
в площадке общего положения. Угол наклона
этой площадки 
будем
отмерять от направления 
до
нормали к площадке 
.
Примем, что положительный угол
откладывается
против хода часовой стрелки, а отрицательный
по ходу часовой стрелки. Направим
ось х вдоль нормали
,
ось у – перпендикулярно
ей.
|
|
Для определения напряжений 
и 
рассмотрим
рис.3.7.
Получим:
где 
-
площадь наклонной площадки,
-
площадь поперечного сечения,
-
полное напряжение, действующее по
наклонной площадке.
Учитывая, что 
,
получим:
.
Раскладывая 
на
направление оси х и оси у,
получим
,
.
Рассмотрим площадку 
перпендикулярную
площадке
,
угол 
.
Направим ось y по
нормали к этой площадке. Нормальные
напряжения, действующие по этой площадке
равны
.
Складывая
и 
,
получим
,
т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам величина постоянная и равна главному напряжению.
Касательные напряжения, действующие по наклонной площадке
,
т.е. справедлив закон парности касательных напряжений.
Нормальные напряжения
по
наклонной площадке
достигают
максимального значения 
при 
,
т.е. в поперечном сечении.
Касательные напряжения
по
наклонной площадке
достигают
максимального значения 
при 
.
