§8 Обернені тригонометричні функції
Функції,
обернені функціям
,
,
,
на відповідних інтервалах, називаються
оберненими
тригонометричними.
Тригонометричні
функції
і
не є монотонними на всій області їх
визначення. Тому для утворення обернених
функцій виділяють інтервали монотонності.
Функція
на відрізку
зростає і набуває всіх значень з відрізка
.
Тому функція
на відрізку
оборотна, тобто має обернену функцію,
що називається арксинусом
і позначається
.
Таким чином, арксинусом
числа
називається кут
з відрізка
такий, що
.
Наприклад,
,
.
.
Наприклад,
.
Функція
спадає на відрізку
і набуває всіх значень з відрізка
.
Тому функція
на відрізку
оборотна, тобто має обернену функцію,
що називається арккосинусом
і позначається
.
Таким чином, арккосинусом
числа
називається такий кут
,
що
.
.
Наприклад,
,
.
Функція
на інтервалі
зростає і набуває всіх числових значень,
оскільки
.
Тому функція
на інтервалі
оборотна, тобто має обернену функцію,
що називається арктангенсом
і позначається
.
Таким чином, арктангенсом
числа
такий
кут
,
що
.
.
Наприклад,
.
Функція
на інтервалі
спадає і набуває усіх числових значень,
оскільки
.
Тому функція
на інтервалі
оборотна, тобто має обернену функцію,
що називається арккотангенсом
і позначається
.
Таким чином, арккотангенсом
числа
називається такий кут
,
що
.
.
Наприклад,
.
50. Знайти:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
.
51. Знайти значення виразу:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
52. Обчислити:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
53. Довести тотожності:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
54. Перевірити, чи вірна рівність:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
§9 Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь
Рівняння називаються
тригонометричними,
якщо невідома величина знаходиться під
знаком тригонометричних функцій.
Найпростішими
тригонометричними рівняннями називаються
рівняння
,
,
,
.
Розв’язати найпростіше тригонометричне
рівняння – означає знайти множину всіх
кутів, що мають дане значення
тригонометричної функції.
Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь:
55. Розв’язати рівняння:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
56. Розв’язати рівняння:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
57. Розв’язати рівняння:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
.
58. Розв’язати рівняння:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
