- •Алгебра та початки аналізу Частина іі
- •Харків 2011 Передмова
- •Розділ 1 Тригонометричні функції числового аргументу
- •§1 Радіанна міра вимірювання кутів
- •§2 Тригонометричні функції числового аргументу
- •§3 Властивості тригонометричних функцій
- •§4 Основні тригонометричні тотожності
- •§5 Формули зведення
- •§6 Основні формули тригонометрії
- •§7 Властивості та графіки тригонометричних функцій Властивості і графік функції
- •Властивості і графік функції
- •Властивості і графік функції
- •Властивості та графік функції
- •§8 Обернені тригонометричні функції
- •§9 Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь
- •§ 10 Розв’язання тригонометричних рівнянь
- •§ 11 Розв’язання тригонометричних нерівностей
- •Розділ 2 Похідна функції та її застосування
- •§ 12 Приріст функції в точці. Похідна функції та її механічний зміст
- •§ 13 Похідна степеневої функції
- •§14 Похідна суми, різниці, добутку та частки двох функцій Правила диференціювання
- •§15 Похідна складеної функції
- •§ 16 Похідні тригонометричних функцій
- •§ 17 Похідна показникової функції
- •§ 18 Похідна логарифмічної функції
- •§ 19 Геометричний зміст похідної
- •§ 20 Похідні вищих порядків
- •§ 21 Диференціал функції і його застосування до наближених обчислень
- •§ 22 Ознака сталості, зростання та спадання функції.
- •§ 23 Екстремум функції
- •§ 24 Побудова графіків функцій Загальна схема для побудови графіків функцій
- •§ 25 Найменше та найбільше значення функції
- •Розділ 3 Інтеграл та його застосування
- •§ 26 Первісна функції. Невизначений інтеграл та його властивості
- •Основні властивості невизначених інтегралів
- •Основні формули інтегрування
- •§ 27 Визначений інтеграл та його властивості
- •Основні властивості визначеного інтегралу:
- •§ 28 Площа криволінійної трапеції
- •§ 29 Застосування визначеного інтеграла при розв’язанні фізичних задач
- •Розділ 4 Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
- •§ 30 Елементи комбінаторики
§5 Формули зведення
Формулами зведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів , , , виражаються через значення , , , .
При застосування формул зведення можна користуватися такими правилами:
1) якщо у формулах містяться кути і , то назва функції не змінюється; якщо ж у формулах містяться кути і , то назва функції змінюється на подібну (синус – на косину, тангенс – на котангенс і навпаки);
2) щоб визначити знак у правій частині формули («+», або «-»), досить, вважаючи кут гострим, визначити знак виразу, який стоїть у лівій частині формули; при цьому перед функцією кута ставлять такий знак, який має зведена функція кутів , , , .
Наприклад, ; .
27. Звести до тригонометричних функцій кута :
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
28. Звести до тригонометричних функцій кутів першої чверті:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) .
29. Обчислити:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
30. Знайти значення виразу:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
31. Спростити вирази:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) .
32*. Довести тотожність:
1) ;
2) .
§6 Основні формули тригонометрії
Можна виділити основні групи тригонометричних формул.
1. Основні співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу (див. §4).
2. Формули додавання аргументів:
;
;
;
.
3. Формули подвійного і потрійного аргументів:
;
;
;
;
;
.
4. Формули зниження степеня:
; .
5. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму
; ;
.
6. Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функцій у добуток:
;
; ;
; .
7. Формули тригонометричних функцій половинного аргументу:
; ;
; .
33. Спростити вирази:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) .
34. Довести тотожність:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
35. Знайти:
1) ; 2) ;
2) ; 4) ;
3) ; 6) .
36. . Знайти .
37. . Знайти .
38. Знайти значення виразу:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) .
39. Спростити вирази:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) .
40. Перетворити на добуток:
1) ; 2) ; 3); 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) .
41. Довести тотожність:
1) ;
2);
3) ;
4) .