- •Алгебра та початки аналізу Частина іі
- •Харків 2011 Передмова
- •Розділ 1 Тригонометричні функції числового аргументу
- •§1 Радіанна міра вимірювання кутів
- •§2 Тригонометричні функції числового аргументу
- •§3 Властивості тригонометричних функцій
- •§4 Основні тригонометричні тотожності
- •§5 Формули зведення
- •§6 Основні формули тригонометрії
- •§7 Властивості та графіки тригонометричних функцій Властивості і графік функції
- •Властивості і графік функції
- •Властивості і графік функції
- •Властивості та графік функції
- •§8 Обернені тригонометричні функції
- •§9 Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь
- •§ 10 Розв’язання тригонометричних рівнянь
- •§ 11 Розв’язання тригонометричних нерівностей
- •Розділ 2 Похідна функції та її застосування
- •§ 12 Приріст функції в точці. Похідна функції та її механічний зміст
- •§ 13 Похідна степеневої функції
- •§14 Похідна суми, різниці, добутку та частки двох функцій Правила диференціювання
- •§15 Похідна складеної функції
- •§ 16 Похідні тригонометричних функцій
- •§ 17 Похідна показникової функції
- •§ 18 Похідна логарифмічної функції
- •§ 19 Геометричний зміст похідної
- •§ 20 Похідні вищих порядків
- •§ 21 Диференціал функції і його застосування до наближених обчислень
- •§ 22 Ознака сталості, зростання та спадання функції.
- •§ 23 Екстремум функції
- •§ 24 Побудова графіків функцій Загальна схема для побудови графіків функцій
- •§ 25 Найменше та найбільше значення функції
- •Розділ 3 Інтеграл та його застосування
- •§ 26 Первісна функції. Невизначений інтеграл та його властивості
- •Основні властивості невизначених інтегралів
- •Основні формули інтегрування
- •§ 27 Визначений інтеграл та його властивості
- •Основні властивості визначеного інтегралу:
- •§ 28 Площа криволінійної трапеції
- •§ 29 Застосування визначеного інтеграла при розв’язанні фізичних задач
- •Розділ 4 Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
- •§ 30 Елементи комбінаторики
Розділ 4 Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
§ 30 Елементи комбінаторики
Задачі, в яких визначаються всі можливі різні комбінації, складені з скінченого числа елементів за деяким правилом, називаються комбінаторними. Розділ математики, в якому визначається їх розв’язання, називається комбінаторикою. Під час розв’язування комбінаторних задач доводиться розглядати скінчені множини, складені з елементів будь-якої природи, та їх підмножини. Залежно від умови задачі розглядаються скінчені множини, в яких істотним є або порядок елементів, або їх склад, або перше і друге одночасно. Такі скінчені множини (сполуки) дістали певну назву: перестановки, розміщення, комбінації.
1. Перестановки. Усякий встановлений в скінченій множині порядок називається перестановкою її елементів. Множина, в якій задано порядок розміщення її елементів, називається упорядкованою.
Характеристична ознака перестановок: 1) предмети різні; 2) всі місця зайняті; 3) порядок елементів важливий.
Число всіх перестановок у множині з елементів позначають . Воно дорівнює добутку послідовних натуральних чисел від 1 до включно:
.
Добуток прийнято позначати знаком (читається «- факторіал»); при цьому припускають, що , . Тому можна записати:
2. Розміщення. Нехай дано скінчену множину, яка складається з елементів. Будь-яка її упорядкована підмножина, яка містить елементів, де , називається розміщенням з елементів по .
Отже, розміщення відрізняються одне від одного або елементами, або порядком елементів.
Характеристичні ознаки розміщень: 1) предмети і місця різні; 2) ;
3) усі місць необхідно зайняти ; 4) порядок елементів важливий.
Число розміщень з елементів по елементів позначають і знаходять за формулою:
.
Якщо , то дістаємо формулу:
При розв’язуванні задач часто користуються рівністю: .
3. Комбінації. Нехай дано скінчену множину, яка складається з елементів. Будь-яка її підмножина, яка містить елементів, де , називається комбінацією з елементів по .
Характеристичні ознаки комбінацій: 1) предмети різні; 2) ; 3) порядок вибору елементів не має значення.
Число віх можливих комбінацій з елементів по елементів позначають і знаходять за формулою:
Число всіх підмножин множини А, яка складається з елементів, дорівнює .
197. Дано: А = , В = , С = . Знайдіть:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
198. Дано: А = , В = , С = . Знайдіть:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
199. Дано: М = , N = . Знайдіть:
1) M/N; 2) N/M; 3) (M/N)(N/M).
200. Дано А = , В = . Знайти: А/В і В/А.
201. Дано: А = {: }, B = {: }. Знайти і .
202. Дано: А = {: }, В = {: }. Знайти і .
203. Нехай А – множина цілих чисел, які діляться на 4, В – множина цілих чисел, які діляться на 3. Які із чисел 9, 0, - 24, - 53, 128, 1242048 належать множинам і ?
204. Знайти , якщо:
1) А – множина парних чисел, В = {: , де };
2) А – множина простих чисел, В – множина непарних чисел.
205. Знайти , якщо М – множина простих чисел, що менші від 40, Р – множина непарних чисел, більших за 14.
206. Знайти К/F, якщо К = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, F = {2, 4. 6}.
207. Зі 100 студентів лише німецьку мову вивчають 18; німецьку, але не англійську – 23, німецьку і французьку – 8, ніякої мови не вивчають – 24. Скільки студентів вивчають англійську мову? Скільки студентів вивчають англійську і німецьку мову, але не французьку? Скільки студентів вивчають французьку мову, але не вивчають англійську?
208.