- •Определители. Вычисление определителей второго порядка. Вычисление определителей высших порядков с помощью теоремы Лапласа. Свойства определителей.
- •Теорема Лапласа
- •Нахождение наибольшего(базисного) минора матрицы.
- •Приведение к каноническому виду(с помощью элементарных преобразований).
- •Евклидовы пространства. Скалярное произведение n-мерных векторов и его свойства. Вектора коллинеарные, ортогональные, нормированные. Понятие ортонормированного базиса. Переход к новому базису.
- •Полярная система координат
- •Цилиндрическая и сферическая системы координат
- •2 Раздел
- •Множество вещественных чисел.
- •Множество всех отображений, целых чисел в целые.
- •Множество всех подмножеств множества положительных
- •Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях. Шкала бесконечно малых. –символика.
- •Признаки экстремума функций.
- •1.1. Область определения функции двух переменных
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные функции двух переменных
- •1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
- •1.5. Производные сложной функции
- •1.6. Производные неявной функции
- •1.7. Производная по направлению, градиент
- •1.8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •1.9. Экстремумы функций двух переменных
- •1.10. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области
- •3 Раздел
- •Первообразная. Теорема об общем виде первообразных.
- •Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замены переменной, интегрирование по частям.
- •Интегрирование дробно-рациональной функции. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование простейших иррациональностей. Тригонометрические замены переменных.
- •Интеграл вида если функция r является нечетной относительно cosx.
- •Интеграл вида если функция r является нечетной относительно sinx.
- •Интеграл вида функция r четная относительно sinx и cosx.
1.1. Область определения функции двух переменных
Если каждой паре значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D. Функция двух переменных обозначается . Множество пар , при которых определяется функция , называется областью определения этой функции.
Область определения функции может представлять собой:
1) часть плоскости Оху, ограниченную замкнутой кривой, причем точки этой кривой могут как принадлежать, так и не принадлежать области определения;
2) всю плоскость Оху;
3) совокупность нескольких частей плоскости Оху.
Аналогично определяется функция трех и более переменных.
1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Окрестностью радиуса r точки называется множество всех точек , удовлетворяющих неравенству , т. е. множество всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке .
Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для каждого числа найдется такое число , что для всех точек , для которых выполняется неравенство , имеет место неравенство . Предел функции двух переменных обозначают: или .
Пусть точка принадлежит области определения функции . Функция называется непрерывной в точке , если имеет место равенство , причем точка стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.
1.3. Частные производные функции двух переменных
Пусть определена на области D. Будем считать аргумент y постоянным и рассмотрим получающуюся при этом функцию одной переменной x. Придадим переменной x приращение . Приращение вызовет приращение функции . Конечный предел (если он существует), отношения приращения функции к приращению аргумента , при , называется частной производной по x и обозначается , т. е.
. |
(1.1) |
Если считать аргумент х постоянным и рассматривать функцию z = f(x, y) как функцию одной переменной у, то приращение вызовет приращение функции . Конечный предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при называется частной производной по y и обозначается , т. е.
. |
(1.2) |
Для обозначения частных производных также используют символы:
. |
|
Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
; |
; |
; |
. |
(1.3) |
Причем , если производные непрерывны. Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.
1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
Полным приращением функции z = f(x, y) в точке называется величина .
Полным дифференциалом функции z = f(x, y)называется величина, вычисляемая по формуле:
. |
(1.4) |
Формула приближенных вычислений:
. |
(1.5) |