3. Нахождение наибольшего(базисного) минора матрицы.

4. Приведение к каноническому виду(с помощью элементарных преобразований).

ТЕОРЕМА(1) Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Теорема(2). Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема(3). Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Исследование однородных систем:

Однородная система всегда совместна.

Теорема: Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Теорема: Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

(4)

Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость (линейная независимость) системы векторов. Два определения линейно независимой системы векторов и их эквивалентность. Связь между линейной зависимостью (линейной независимостью) системы и подсистемы векторов. Ранг системы векторов. Критерий линейной независимости системы векторов. Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в базисе. Размерность линейного пространства.

Множество называется линейным пространством, а его элементы – векторами, если:

1. Задан закон, по которому любым двум элементам (х и у) сопоставляется элемент, называемый их суммой, обозначаемый х+у.

2. Задан закон, по которому элементу х из множества и числу а сопоставляется элемент их множества, называемый произведением х на а и обозначаемый ах.

3. Для любых элементов x, y и z из множества для любых чисел a и b выполнены следующие требования:

• x+y=y+x

• (x+y)+z=x+(y+z)

• Существует элемент о такой, что для каждого х из множества выполнено равенство х+о=х

• Для каждого элемента х существует такой элемент –х, что х+(-х)=0

• а(х+у)=ах+ау

• (a+b)x=ax+bx

• a(bx)=(ab)

• Произведение любого элемента х на 1 равно х.

a1; a2; a3;...;an - линейно зависимы если их линейная комбинация может принимать любые значения хотя бы при одном ≠0.

<=>

a1; a2; a3;...;an - линейно зависимы если один из них является линейной комбинацией остальных.

a1; a2; a3;...;an – линейно независимы если:

Рангом системы векторов называется максимальное количество линейно независимых векторов системы.

Система векторов называется базисом линейного пространства если:

1. Она линейно независима

2. Любой вектор пространства x линейно выражается через вектора этой системы.

<=>

Система векторов называется базисом линейного пространства если:

1. Она линейно независима

2. Добавление еще одного вектора превращает систему в линейно зависимую.

Коэффициенты линейной комбинации называются компонентами или координатами вектора по базису.

Векторы базиса e_1,…,e_n записываются в строку e=||e_1,…,e_n||, а компоненты ξ¹,… ,ξⁿ вектора х по базису e – в столбец, который называется координатным столбцом вектора. Разложение вектора по базису: х=еξ.

Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы.

Количество базисных векторов линейного пространства называется размерностью этого пространства.

(5)