Полярная система координат

Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

        Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

            Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

            Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями: x = rcos;       y = rsin;      x² + y² = r²

Цилиндрическая и сферическая системы координат

Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали .

Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.

                                                                          

                                                                                              М

 

                                                                                  

                                                                                              h

                                                                        0                                                  x

                                                                                      r                                                                                                   M₁                                                  y

   ОМ₁ = r;    MM₁ = h;

            Если из точки М опустить перпендикуляр ММ₁ на плоскость, то точка М₁ будет иметь на плоскости полярные координаты (r, q).

 Цилиндрическими координатами точки М называются  числа (r, q, h), которые определяют положение точки М в пространстве.

 Сферическими координатами точки М называются числа (r,j,q), где j - угол между r и нормалью.

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат

            h = z;         x = rcos;     y  = rsin;   cos = ;    sin = .

Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной

 

(8)

Линия на плоскости и ее уравнение. Нахождение уравнений некоторых линий. Прямая на плоскости и ее уравнения: векторное, общее, нормальное, каноническое, с угловым коэффициентом. Неполные уравнения прямой. Простейшие задачи на уравнение прямой линии (уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; уравнение прямой в отрезках на осях). Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости (угол между двумя прямыми; условие параллельности двух прямых; условие перпендикулярности двух прямых; координаты точки пересечения двух прямых). Кривые второго порядка и их канонические уравнения. Исследование вида кривой по ее уравнению. Общее уравнение второго порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду с помощью преобразования координат. Понятие об инвариантах. Кривые эллиптического, гиперболического, параболического типов.

Векторное уравнение прямой:

[r-r₀,a]=0; a – направляющий вектор прямой, r₀ – радиус-вектор начальной точки прямой.

y=kx+b – уравнение с угловым коэффициентом

Ax+By+C=0 – общее уравнение прямой

Полярное уравнение: r cos(φ – λ)=p

Нормальное уравнение: x∙cos λ + y ∙sin λ – p=0

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: y-y0=k(x-x0­)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

Уравнение прямой в отрезках:

Расстояние от точки до прямой:

Угол между двумя прямыми:

Взаимное расположение прямых:

• параллельны: k₁=k₂;

• Сливаются: k₁=k₂;

• Перпендикулярны: k₁k₂=-1

• Пересекаются:

Уравнение линий второго порядка: Ax²+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

(9)

Плоскость и ее уравнения (векторное, общее, нормальное). Неполные уравнения плоскости. Простейшие задачи на уравнение плоскости (уравнение плоскости, проходящей через данную точку; уравнение плоскости, проходящей через три данные точки; уравнение плоскости в отрезках на осях). Расстояние от точки до плоскости; расстояние между параллельными плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей (угол между двумя плоскостями; условие параллельности двух плоскостей; условие перпендикулярности двух плоскостей).

Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

где A,B,C и D - постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где - радиус-вектор точки M(x,y,z), вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен нулю уравнение наз. неполным. При D = 0 П. проходит через начало координат, при A = 0 (или B = 0, C = 0) П. параллельна оси Ox (соответствённо Oy или Oz). При A = B = 0 (A = C = 0, или B = C = 0) П. параллельна плоскости Oxy (соответственно Oxz или Oyz).

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

xcosα + ycosβ + zcosγ − p = 0;

нормирующий множитель: (знаки μ и D противоположны).

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N(A,B,C) :

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0;

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

Уравнение плоскости в отрезках:

Расстояние от точки до плоскости:

Расстояние между параллельными плоскостями

Угол между двумя плоскостями:

(10)

Прямая линия в пространстве и ее уравнения (общие, канонические, параметрические). Взаимное расположение двух прямых в пространстве (угол между двумя прямыми; условие параллельности двух прямых; условие перпендикулярности двух прямых). Взаимное расположение прямой и плоскости (угол между прямой и плоскостью, условия параллельности прямой и плоскости, условия перпендикулярности прямой и плоскости). Координаты точки пересечения прямой и плоскости; расстояние от точки до прямой; расстояние между параллельными прямыми; расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.

Параметрические уравнения прямой:

Канонические уравнения прямой:

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

Угол между прямыми:

Условие, при котором 2 прямые лежат в одной плоскости:

Угол между прямой и плоскостью:

- условие параллельности прямой и плоскости

- условие перпендикулярности прямой и плоскоси

Условие принадлежности прямой плоскости:

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности прямых: m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0

Расстояние от точки до прямой::

(11)

Поверхности второго порядка (конус, цилиндры, эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид) и их канонические уравнения. Построение поверхности второго порядка с помощью метода сечений.

(12)

Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи комплексных чисел. Геометрическая интерпретация. Действия с комплексными числами (сложение, умножение, возведение в степень). Корни из комплексного числа. Корни из единицы. Множество точек комплексной плоскости. Предел последовательности комплексных чисел. Открытые, замкнутые, множества, односвязные, многосвязные области, ограниченные множества. Жорданова кривая на комплексной плоскости.

Комплексные числа — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению x² = − 1.

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учётом тождества i² = − 1.

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент φ , то комплексное число z можно записать в тригонометрической форме:

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: .

Геометрическое представление

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x и y (или её радиус-вектор, что тоже самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.

Формула Муавра - формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где r — модуль, а — аргумент комплексного числа.

Сложение: (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)

Умножение: (x,y)*(x’,y’)=(xx’-yy’,xy’+yx’)

Корень из комплексного числа:

Если , то . Пусть . Запишем число в тригонометрической форме:

Здесь и   - известные величины. Запишем неизвестное число в тригонометрической форме:

.

Здесь и  -- неизвестны. По формуле Муавра

Таким образом,

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому . В этом соотношении и  -- положительные числа, следовательно , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную . Поэтому , . Отсюда находим, что

В итоге получили:

Значения , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения , которые можно получить при

ПРИМЕР. Найдите корни уравнения .

Решение. Запишем число в тригонометрической форме:

то есть , . Тогда

При получим:

При получим:

При получим:

При получим:

Ответ: , , , .         

Простейшие множества точек на комплексной плоскости.

Примеры. а) |z-z0|=a (a>0) - окружность с центром в точке z0 радиуса a;

б) |z-z0|<a (a>0) - открытый круг с центром в точке z0 радиуса a;

в) |z-z0|>a (a>0) - внешность открытого круг с центром в точке z0 радиуса a;

г) a<|z-z0|<b (0<a<b) - открытое кольцо с центром в точке z0 ;

д) arg(z-z0)= j - луч, с началом в точке z0, идущий под углом j к положительному направлению действительной оси.

е) a <arg(z-z0)<b - внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точке z0 и углом раскрыва b -a .

ж) Re z= a - прямая, || мнимой оси, проходящая через точку (a,0);

з) Im z= b - прямая, || действительной оси, проходящая через точку (0,b);

Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное множество комплексных чисел.

Члены последовательности (элементы) располагаются в порядке следования их номеров. Обозначение: {zn}.

Комплексное число z называется пределом последовательности {z_n }, если для " e >0 $ N(e ): п z_n-zп <e для " n >=N."

Обозначения: {zn} z; z_n=z.