Неопределенный интеграл и его свойства.

Теорема 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Доказательство. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x), тогда

∫f(x)dx = F(x) + c.

Найдем производную и дифференциал от обеих частей равенства.

(∫ f(x)dx)' = (F(x) + c)' = f(x),

d(∫ f(x)dx) = (∫ f(x)dx)' dx = f(x)dx.

Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство. ∫ d f(x) = ∫ f'(x)dx = f(x) + C.

Из теорем 1 и 2 следует, что операции дифференцирования и интегрирования являются взаимнообратными.

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Доказательство. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x).

∫ f(x)dx = F(x) + C.

Умножим обе части на k .

k ∫ f(x)dx = k F(x) + C1, где C1 = k C.

Найдем производную функции kF(x).

(k F(x))' = k f(x).

Функция k F(x) является первообразной функции k f(x). Следовательно,

∫ k f(x)dx = k F(x) + C,

∫ k f(x)dx = k ò f(x)dx.

Теорема 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

(3)

Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замены переменной, интегрирование по частям.

Метод замены переменной интегрирования

где

Интегрирование по частям:

Таблица интегралов

(4)

Интегрирование дробно-рациональной функции. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование простейших иррациональностей. Тригонометрические замены переменных.

Постановка задачи интегрирования дробно-рациональной функции.

- задача свелась к интегрированию правильной рациональной дроби.

Простейшие рациональные дроби.

Простейшими рациональными дробями являются рациональные дроби:

1)

2)

3)

Выделяем полный квадрат и делаем замену переменной:

Тогда интеграл примет вид:

Делаем обратную замену переменной и получаем окончательный ответ.

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Дана правильная дробь:

Теорема 1. Если знаменатель Q(x) имеет любые корни, то правильная дробь разлагается на сумму простейших дробей 1 и 2 типа.

Интегрирование правильной рациональной дроби.

сумме интегралов от простейших дробей.

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

1. Интеграл вида .

  Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

, 

Тогда 

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

2. Интеграл вида если функция r является нечетной относительно cosx.

 

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

 

Функция  может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.