Евклидовы пространства. Скалярное произведение n-мерных векторов и его свойства. Вектора коллинеарные, ортогональные, нормированные. Понятие ортонормированного базиса. Переход к новому базису.

Пространство называется эвклидовым если для любых двух векторов этого пространства определенно скалярное произведение.

Св-ва скалярного произведения:

1. (x,y)=(y,x)

2. (x+y,z)=(x,z)+(y,z)

3. (ax,y)=a(x,y)

4. (x,x)>0 при x<>0

Два вектора называются коллинеарными если существует прямая, которой они параллельны.

Два вектора называются ортогональными если между ними прямой угол.

Базис называется ортонормированным, если любые два вектора этого базиса ортогональны и каждый вектор нормирован.

(6)

Пространства и . Вектор в пространствах и и его геометрическое представление. Вектора коллинеарные, равные, противоположные. Нулевой и единичный векторы. Ортонормированный (стандартный) базис в пространствах и . Орты осей координат. Проекция вектора на ось. Координаты вектора в стандартном базисе. Разложение вектора по ортам осей координат. Действия с векторами (сложение, умножение на число) и их свойства. Геометрическая иллюстрация. Условие коллинеарности двух векторов. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение ортов осей координат. Скалярное произведение в координатной форме. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональные вектора. Условие ортогональности двух векторов. Проекция вектора на вектор. Физические приложения скалярного произведения векторов. Векторное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение ортов осей координат. Векторное произведение в координатной форме. Геометрические и физические приложения векторного произведения. Смешанное произведение векторов. Смешанное произведение в координатной форме. Свойства смешанного произведения. Геометрические приложения смешанного произведения. Компланарные вектора. Условие компланарности трех векторов.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо

на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Если ab и |a| b| , то

a b

Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными, если их концы лежат по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Два ненулевых вектора,

лежащие на параллельных прямых, называются противоположно направленными, если их концы лежат по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. Векторное произведение коллинеарных векторов . Это — критерий коллинеарности двух векторов.

Любая точка плоскости также является вектором, в этом случае его называют нулевым

Суммой двух векторов и называется новый вектор который обозначается

Для любых векторов и справедливы равенства:

(переместительный закон);

(сочетательный закон).

Произведением ненулевого вектора a на число k называется вектор b , длина которого равна |k| a| , причём векторы a и b сонаправлены при k 0 и противоположно направлены при k < 0

Ба́зис — множество линейно не зависемых векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.

Для любых чисел k, l и любых векторов a , b справедливы равенства:

1) kla kla(сочетательный закон);

2) k la ka la ( первый распределительный закон);

3) ka bka kb (второй распределительный закон)

Орт произвольного ненулевого вектора c — единичный вектор, коллинеарный c и имеющий одинаковое с c направление.

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k. При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов:

[i j]=k ; [j k]=i ; [k i]=j .

Проекцией вектора на ось называется разность проекций конца вектора и его начала.

Координатами вектора b относительно базиса В называется упорядоченная тройка чисел {x, y, z}, т.ч. b=x·a1+ y·а2+z· а3.

Обозначение: b={x, y, z}_B

Замечание: Под координатами закреплённого вектора понимают координаты соответствующего ему свободного вектора.

Скалярным произведением двух векторов и называется число S, равное . Эта операция обозначается или

Координатная форма записи скалярного произведения.

Пусть в декартовой системе координат векторы a и b имеют координаты соответственно (x1;y1) и (x2;y2). Тогда

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то

Векторы из евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. или .

Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Проекцией вектора b на вектор a, , будем называть проекцию вектора b на любую ось, параллельную вектору a и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора a.

Механический смысл скалярного произведения: работа А на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы F на вектор перемещения S: A= F S

Векторные произведения координатных ортов i , j и k :

i i j j k k 0 ,

i j j i k ; j k k j i ; k i i k j .

векторное произведение в координатной форме

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов a и b равен площади S параллелограмма, построенного на векторах a и b , т.е. S | a b |

Механический смысл векторного произведения: нахождение момента силы F, приложенной к точке М, относительно точки А, находится по формуле: m_A F= AM* F

Смешанным произведением векторов a , b и c называется скалярное произведение вектора a b на вектор c , т.е. (a b) c .

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;

б) два из перемножаемых векторов параллельны (коллинеарны);

в) все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны).

2. Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного () и скалярного () умножения, т.е. (a b) c a (bc).

В силу этого свойства смешанное произведение векторов a , b и c записывается в виде a b c .

3. Смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке: a b c b c a c a b .

4. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет только знак:

b a c a b c ; c b a a b c ; a c b a b c.

Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е.

Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

(7)

Системы координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система координат на плоскости. Координаты точки в прямоугольной декартовой системе координат. Преобразования прямоугольной декартовой системы координат (параллельный перенос осей координат, поворот координатных осей, параллельный перенос и поворот координатных осей). Полярная система координат на плоскости. Координаты точки в полярной системе координат. Формулы перехода от декартовых координат к полярным. Формулы обратного перехода. Прямоугольная декартова система координат в пространстве. Координаты точки в прямоугольной декартовой системе координат. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Координаты точки в этих системах. Формулы перехода от цилиндрических и сферических координат к декартовым координатам.

Декартова СК.

x - абсцисс, y – ординат, z – аппликат.

Параллельный сдвиг координатных осей (рис. 4.8)

     Поворот координатных осей (рис. 4.9)

     Параллельный сдвиг и поворот координат осей (рис. 4.10)