3. Интеграл вида если функция r является нечетной относительно sinx.

 

  По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

4. Интеграл вида функция r четная относительно sinx и cosx.

 

  Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

 

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

5. 

 

 

Интегрирование простейших иррациональностей

 1. Если подынтегральная функция содержит лишь линейную иррациональность

 (а  0),

то полезна подстановка

.  (*)

         2. Интеграл от простейшей квадратной иррациональности

вычисляется с помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата и сводится к одному из двух интегралов типа

,

которые вычисляются подстановкой Эйлера:

I. (0)

, где t- новая переменная.

То есть

х² +  = t² - 2tx + x²   или   = t² - 2tx.

 

Возьмем дифференциал от обеих частей, получим

d = 0 = 2tdt - 2xdt - 2tdx или

tdx = (t - x)dt, тогда

, то есть .

Таким образом,

.

                                               .(0).                       (2.9)

II.