- •Определители. Вычисление определителей второго порядка. Вычисление определителей высших порядков с помощью теоремы Лапласа. Свойства определителей.
- •Теорема Лапласа
- •Нахождение наибольшего(базисного) минора матрицы.
- •Приведение к каноническому виду(с помощью элементарных преобразований).
- •Евклидовы пространства. Скалярное произведение n-мерных векторов и его свойства. Вектора коллинеарные, ортогональные, нормированные. Понятие ортонормированного базиса. Переход к новому базису.
- •Полярная система координат
- •Цилиндрическая и сферическая системы координат
- •2 Раздел
- •Множество вещественных чисел.
- •Множество всех отображений, целых чисел в целые.
- •Множество всех подмножеств множества положительных
- •Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях. Шкала бесконечно малых. –символика.
- •Признаки экстремума функций.
- •1.1. Область определения функции двух переменных
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные функции двух переменных
- •1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
- •1.5. Производные сложной функции
- •1.6. Производные неявной функции
- •1.7. Производная по направлению, градиент
- •1.8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •1.9. Экстремумы функций двух переменных
- •1.10. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области
- •3 Раздел
- •Первообразная. Теорема об общем виде первообразных.
- •Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замены переменной, интегрирование по частям.
- •Интегрирование дробно-рациональной функции. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование простейших иррациональностей. Тригонометрические замены переменных.
- •Интеграл вида если функция r является нечетной относительно cosx.
- •Интеграл вида если функция r является нечетной относительно sinx.
- •Интеграл вида функция r четная относительно sinx и cosx.
1.10. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области
Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:
1. Найти стационарные точки, лежащие внутри данной области, и вычислить значения функции в этих точках (в данном случае нет необходимости исследовать функцию на экстремум).
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.
3. Сравнить полученные в п.1 и п.2 значения функции и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значения функции в данной области.
3 Раздел
(1)
Первообразная. Теорема об общем виде первообразных.
В математическом анализе первообразной данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Так как производная константы равна нулю, функция будет иметь бесконечное количество первообразных, таким образом семейство первообразных функции F(x) = ∫f(x)dx+ C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:
Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница. F(x) = ∫f(x)dx+ C
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов:
Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:
Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную.
Общий вид первообразных
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:
Признак постоянства функции. Если F¢(x) = 0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянная на этом промежутке.
Доказательство. Зафиксируем некоторое х0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указазать такое число с, заключенное между х и х0, что
F(x) – F(x0) = F¢ (c)(x – x0).
По условию F¢ (c) = 0, так как с Î I, следовательно,
F(x) – F(x0) = 0.
Итак, для всех х из промежутка I
F(x) = F(x0),
т. е. функция F сохраняет постоянное значение.
Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.
Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных):
Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
F(x) + C,
где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.
Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:
1) какое бы число ни поставить в выражение вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство
Ф(х) = F(x) + C.
Доказательство. 1) По условию функция F – первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F¢(x) = f(x) для любого x Î I, поэтому
(F(x) + C)¢ = F¢(x) + C¢ = f(x) + 0 = f(x),
т. е. F(x) + C – первообразная для функции f.
2) Пусть Ф(х) – одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф¢(х)= f(x) для всех x Î I. Тогда
(Ф(х) – F(x))¢ = Ф¢(х) - F¢(x) = f(x) – f(x) = 0.
Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) – F(x) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.
Таким образом, для всех х их промежутка I справедливо равенство Ф(х) – F(x) = С, что и требовалось доказать.
Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.
(2)