2 Раздел

(1)

Множество. Объединение, пересечение множеств. Дополнение множества до универсального. Основные тождества алгебры множеств (законы коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, пустого и универсального множества, законы де Моргана, закон поглощения). Диаграммы Эйлера-Венна.

Множество - это совокупность, класс отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества

Объединением двух множеств A и B называется множество A B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B называется множество A B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.

Универсальное множество

Если в некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества I, то это самое большое множество I называют универсальным множеством. Изображение универсального множества в виде областей в прямоугольнике называют диаграммой Эйлера-Венна.

Для универсального множества справедливо равенство: X U I=I

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами.

Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность между основным множеством E и множеством A называется дополнением множества A в E и обозначается

Кратко это можно записать так:

Для любых двух множеств A и B основного множества E справедливы законы де Моргана.

Для удобства множества изображают в виде кругов, а основное множество в виде прямоугольника, их содержащего. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера–Венна.

(2)

Отображения. Инъективные, сюръективные, биективные отображения. Эквивалентные множества. Мощность множества. Счетные множества. Счетность множества целых и рациональных чисел. Пример несчетного множества.

Пусть U, V - непустые множества, - (однозначное) отображение из множества U в множество V, т. е. каждому элементу сопоставляется элемент .

Отображение называется:

инъективным, если разные элементы в U при отображении f переходят в разные элементы в V (т. е. ),

сюръективным, если каждый элемент в V является образом некоторого элемента из U (т. е. , другими словами, ),

биективным, если отображение f инъективно и сюръективно (т. е. ).

Два множества А и В называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

В теории множеств счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Множество натуральных чисел является счетно-бесконечным по определению. Это некий эталон, мощность которого определена как число. Счетно-бесконечными также будут все множества, для которых удастся доказать равномощность с множеством натуральных чисел. Для доказательства того, что множества равномощны, обычно используется какой либо способ, позволяющий поставить в соответствие каждому элементу рассматриваемого множества какое то натуральное число. Далее рассматривается «расширенное» множество натуральных чисел, включающее в себя стандартный ряд натуральных чисел (1,2,3,…) и число 0.

Будем обозначать множество натуральных чисел буквой N.

Множество натуральных чисел является также эффективно перечислимым (тоже по определению)

Счетность множества целых чисел

Целые числа: -n, …, -3,-2,-1,0,1,2,3,…, n,…

Будем обозначать множество целых чисел буквой Z

Расположим их следующим образом 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …., n, -n, …

Тогда каждому числу можно поставить в соответствие натуральное число

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …. , n, -n, …

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…., 2n-1, 2n, …

Таким образом доказано, что множество Z равномощно множеству N, а значит оно счетно.

Для доказательства эффективной перечислимости множества Z необходимо установить тот факт, что все элементы множества Z могут быть перебраны по алгоритму и должны получить в результате такого перебора порядковые номера, причем без пропусков и повторений. Позже для некоторых случаев оговорка «без пропусков и повторений» будет снята, однако важным остается факт перечисления ПО АЛГОРИТМУ, т.е. неким регулярным образом.

Факт эффективной перечислимости множества Z напрямую следует из приведенного способа нумерации элементов натуральными числами.

Счетность множества рациональных чисел

Определим рациональное число как q=n/m, где n и m – целые числа, причем m не равно 0.

Рассмотрим сначала положительные рациональные числа и запишем их в виде бесконечной матрицы, строки и столбцы которой пронумерованы натуральными числами начиная с 1. Элемент стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца получит наименование q_ij

1 2 3 4

1 q₁₁ q₁₂ q₁₃ q₁₄ …

2 q₂₁ q₂₂ q₂₃ q₂₄……

3 q₃₁ q₃₂ q₃₃ q₃₄……

4 q₄₁ q₄₂ q₄₃ q₄₄……

…………………………...

n q_n1 q_n2…………………

……………………………

Используя диагональный метод, перечислим их (пронумеруем натуральными числами):

q₁₁ q₂₁ q₁₂ q₁₃ q₂₂ q₃₁ q₄₁ q₃₂ q₂₃ q₁₄ q₁₅ q₂₄ q₃₃

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Т.о. каждое рациональное число получит соответствующий номер, что означает счетность множества рациональных чисел. Факт эффективной перечислимости множества Z напрямую следует из приведенного способа нумерации элементов натуральными числами.

Примеры несчетных множеств: