- •Определители. Вычисление определителей второго порядка. Вычисление определителей высших порядков с помощью теоремы Лапласа. Свойства определителей.
- •Теорема Лапласа
- •Нахождение наибольшего(базисного) минора матрицы.
- •Приведение к каноническому виду(с помощью элементарных преобразований).
- •Евклидовы пространства. Скалярное произведение n-мерных векторов и его свойства. Вектора коллинеарные, ортогональные, нормированные. Понятие ортонормированного базиса. Переход к новому базису.
- •Полярная система координат
- •Цилиндрическая и сферическая системы координат
- •2 Раздел
- •Множество вещественных чисел.
- •Множество всех отображений, целых чисел в целые.
- •Множество всех подмножеств множества положительных
- •Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях. Шкала бесконечно малых. –символика.
- •Признаки экстремума функций.
- •1.1. Область определения функции двух переменных
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные функции двух переменных
- •1.4. Полный дифференциал функции двух переменных
- •1.5. Производные сложной функции
- •1.6. Производные неявной функции
- •1.7. Производная по направлению, градиент
- •1.8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •1.9. Экстремумы функций двух переменных
- •1.10. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области
- •3 Раздел
- •Первообразная. Теорема об общем виде первообразных.
- •Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замены переменной, интегрирование по частям.
- •Интегрирование дробно-рациональной функции. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование простейших иррациональностей. Тригонометрические замены переменных.
- •Интеграл вида если функция r является нечетной относительно cosx.
- •Интеграл вида если функция r является нечетной относительно sinx.
- •Интеграл вида функция r четная относительно sinx и cosx.
-
Множество вещественных чисел.
-
Множество всех отображений, целых чисел в целые.
-
Множество всех подмножеств множества положительных
целых чисел.
(3)
Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях. Шкала бесконечно малых. –символика.
Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, … , n –1, n, … .
Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом un , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:
u1 , u2 , u3 , …, un - 1 , un , …, кратко обозначаемый { un }
и называемый числовой последовательностью. Величина un называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой un = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов
Удобным инструментом при изучении предельных переходов является понятие бесконечно малой последовательности. Последовательность { n } называется бесконечно малой, если n 0 при n. Основные свойства бесконечно малых последовательностей:
-
Сумма и разность бесконечно малых последовательностей { n } и { n } есть бесконечно малая последовательность.
-
Произведение { n n } бесконечно малой последовательности { n } на ограниченную последовательность { n } есть бесконечно малая последовательность.
-
Для того, чтобы последовательность { xn } сходилась к некоторому числу а необходимо и достаточно, чтобы существовала бесконечно малая последовательность { an }, такая, что для всех n выполнялось xn = а + an
Теорема: Последовательность { n }, n 0 является бесконечно малой последовательностью тогда и
только тогда, когда последовательность является бесконечно большой.
(4)
Сходящиеся последовательности. Предел последовательности, геометрический смысл. Основные теоремы о сходящихся последовательностях. Предельный переход в неравенствах. Ограниченные числовые последовательности. Верхняя и нижняя грани числовой последовательности. Точные верхняя и нижняя грани числовой последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Сходимость последовательности при .
Если существует конечный предел , то последовательность {xn} называется сходящейся.
Число a называется пределом последовательности {xn}, если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство |xn – a| < ε,
т. е. При этом пишут, что или при n → ∞. Кратко это определение можно записать так:
Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a. ε-окрестность точки a. Проще говоря, число a называется пределом последовательности {xn}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.
Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Д о к а з а т е л ь с т в о:
Пусть для определенности - возрастающая и ограничена сверху. Зафиксируем , а так как ограничена, то и . Тогда в силу монотонности заданной последовательности в силу (1.2.1) .
Поэтому , что означает .
Аналогично теорема доказывается для случая, когда - убывающая и ограничена снизу.
Следствие.
Для того, чтобы монотонно возрастающая (убывающая) последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху (снизу). Это следует из утверждения, что если последовательность имеет предел, то она ограничена , и из теоремы Вейерштрасса.
Теорема 2.2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказательство: Пусть , а Пусть - наибольшее из чисел , т.е. . По определению, - ограничена.
Предельный переход в неравенстве.
Если для двух последовательностей , всегда выполняется неравенство , причем каждая из них имеет конечный предел, , , то и .
Теоре́ма Больца́но — Вейерштра́сса гласит, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Последовательность {xn} называется ограниченной снизу (сверху), если существует такое число C, что все члены последовательности удовлетворяют условию xn ≥ C (xn ≤ C). Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если .
Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если .
Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.
Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 ≥ xn.
Последовательность {xn} называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 > xn.
Последовательность {xn} называется монотонно убывающей, если для любого n xn+1 ≤ xn.
Последовательность {xn} называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn+1 < xn.
Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x} (обозначение sup{x}). Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества {x} (обозначение inf{x}).
Теорема о существовании предела монотонной последовательности.
1. Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf{xn} ).
2 Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный +¥ ( -¥ ).
На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел
Теорема о пределе ограниченной и монотонной последовательности.
Если последовательность {Xn} R монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел в R .
Доказательство: Пусть, например, {Xn} – неубывающая последовательность и n: Xn < M. Тогда по теореме о существовании точной верней грани о ограниченного сверху множества в R существует точная верхняя грань S=supxn.
Докажем, что limxn = S.
xn <= S (1)
По определению точной верхней грани: S - xN
{Xn} – неубывает => xn >= xN при n>= N S - xn при n >= N (2)
(1) + (2) S - xn <= S [0 <= S - xn < и | S - xn | < Xn –> S.
Аналогично для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности
(5)
Функция. Область определения, множество значений, способы задания функции. Простейшие свойства функций (ограниченность, монотонность, четность, нечетность, периодичность). Элементарные функции (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические) и их графики.
Предел функции в точке и на бесконечности. Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши. Геометрический смысл предела. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Понятие о неопределенностях. Раскрытие простейших неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Основные эквивалентности. Функции, эквивалентные функциям , , , , , , , в окрестности .
Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение: y =f (x), где x - независимая переменная (аргумент функции), y - зависимая переменная (функция).Множество значений x называется областью определения функции (обычно обозначается D). Множество значений y называется областью значений функции (обычно обозначается E). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f (x)).
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ
-
Аналитический способ: функция задается с помощью
математической формулы.
-
Табличный способ: функция задается с помощью таблицы.
-
Описательный способ: функция задается словесным описанием
-
Графический способ: функция задается с помощью графика
-
Пределы на бесконечности
Функция называется четной, если:
• область определения
функции симметрична
относительно нуля,
• для любого х из облас-
ти определения
f (−x) = f (x).
Функция называетсянечетной, если:
• область определения
функции симметрична
относительно нуля,
• для любого х из облас-
ти определения
f (−x) = −f (x).
Функция y =f (x) называется возрастающей на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f (x1) < f (x2).
Функция y =f (x) называется убывающей на интервале (a; b), если для любых x1
и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f (x1) > f (x2)
Функция f (x) называется периодической с периодом Т > 0, если для любого х из области определения значения x + T и x – T также принадлежат области определения и
f (x) = f (x + T) = f (x − T). При этом любое число вида Тn, где n N, также является периодом этой функции.
Пределы функции на бесконечности
Элементарные функции:
1) степенная функция y=xn
2) показательная функция y=ax
3) логарифмическая функция y=logax
4) тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x
5) обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.
Пусть и Тогда система множеств
является фильтром и обозначается или Предел называется пределом функции f при x стремящемся к бесконечности.
Опр.1. (по Коши). Пусть задана функция y=f(x): X à Y и точка a является предельной для множества X. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что для всех xX, удовлетворяющим неравенствам 0 < |x-a| < δ, выполняется |f(x) – A| < ε.
Опр.2.(по Гейне). Число A называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любой последовательности {xn}ε X, xn≠a nN, сходящийся к a, последовательность значений функции {f(xn)} сходится к числу A.
Теорема. Определение предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.
Доказательство. Пусть A=lim f(x) – предел функции y=f(x) по Коши и {xn} X, xna nN – последовательность, сходящаяся к a, xn à a.
По данному ε > 0 найдем δ > 0 такое, что при 0 < |x-a| < δ, xX имеем |f(x) – A| < ε, а по этому δ найдем номер nδ =n(δ) такой, что при n>nδ имеем 0 < |xn-a| < δ
Но тогда |f(xn) – A| < ε, т.е. доказано, что f(xn)à A.
Пусть теперь число A есть теперь предел функции по Гейне, но A не является пределом по Коши. Тогда найдется εo > 0 такое, что для всех nN существуют xnX, 0 < |xn-a| < 1/n, для которых |f(xn)-A| >= εo. Это означает, что найдена последовательность {xn} X, xn≠a nN, xn à a такая, что последовательность {f(xn)} не сходится к A.
Геометрический смысл предела lim f(x) функции в точке х0 таков: если аргументы х будут взяты в ε-окрестности точки х0, то соответствующие значения останутся в ε-окрестности точки .
Функции могут быть заданы на интервалах, примыкающих к точке x0 разными формулами, либо не определены на одном из интервалов. Для исследования поведения таких функций удобным является понятие левосторонних и правосторонних пределов.
Пусть функция f определена на интервале (a, x0 ). Число A называется пределом функции f слева
в точке x0
если 0 0 x ( a, x0 ) , x0 - x x0 : | f ( x ) - A |
Предел функции f справа в точке x0 определяется аналогично.
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
1) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
3) Произведение бесконечно малой в некоторой точке функции на функцию ограниченную есть функция, бесконечно малая в той же точке.
Бесконечно малые в некоторой точке х0 функции a (x) и b (x) называются бесконечно малыми одного порядка,
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям
Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:
-
сокращение на множитель, создающий неопределенность
-
деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при )
-
применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших
-
использование двух замечательных пределов:
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x→ a, если f(x): f(x) = f (x)g(x), где limx→ af (x) = 1.
Иначе говоря функции эквивалентны при x→ a, если предел их отношения при x→ a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:
sin x ~ x, x → 0
tg x ~ x, x → 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x~ x, x ® 0
ex-1~ x, x→ 0
ln (1+x)~ x, x→ 0
m-1~ mx, x→ 0
(6)
Непрерывность функции. Непрерывность элементарных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Формулировка теорем Больцано-Коши и Вейерштрасса.
Разрывные функции. Классификация точек разрыва. Примеры.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))М U(f(a))).
Непрерывность сложной функции
Теорема 2. Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 59.
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей определения.
Теорема Вейерштрасса
Пусть f — непрерывная функция, определённая на отрезке [a,b]. Тогда для любого существует такой многочлен p с вещественными коэффициентами, что для любого x из выполнено условие
Теорема Больцано — Коши
Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что f(c) = C.
Точка разрыва - значение аргумента, при котором нарушается непрерывность функции (см. Непрерывная функция). В простейших случаях нарушение непрерывности в некоторой точке а происходит так, что существуют пределы
при стремлении x к а справа и слева, но хотя бы один из этих пределов отличен от f (a). В этом случае а называют Точкой разрыва 1-го рода. Если при этом f (a + 0) = f (a —0), то разрыв называется устранимым, так как функция f (x) становится непрерывной в точке а, если положить f (a)= f(a+0)=f(a-0).
Разрывные функции, функции, имеющие разрыв в некоторых точках (см. Разрыва точка). Обычно у функций, встречающихся в математике, точки разрыва изолированы, но существуют функции, для которых все точки являются точками разрыва, например функция Дирихле: f (x) = 0, если х рационально, и f (x) = 1, если х иррационально. Предел всюду сходящейся последовательности непрерывных функций может быть Р. ф. Такие Р. ф. называются функциями первого класса по Бэру.
(7)
Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного двух функций; производная сложной функции).
Производная тригонометрических функций.
Производная обратной функции. Производная обратных тригонометрических функций.
Производная логарифмической функции.
Понятие о логарифмическом дифференцировании. Производная степенно-показательной функции. Производная степенной функции. Производная показательной функции. Производная гиперболических функций.
Производная функции, заданной параметрически.
Производная неявной функции.
Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.
Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :
Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
Логарифмическое дифференцирование
Если требуется найти из уравнения , то можно:
а) логарифмировать обе части уравнения
;
б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х,
.
в) заменить его выражением через х
Дифференцирование неявных функций
Пусть уравнение определяет как неявную функцию от х.
а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ;
б) из полученного уравнения выразим .
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,
Тогда , или
(8)
Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Критерий дифференцируемости функции.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) функции f (x) можно представить в виде Dy = f' (x0) Dx + R,
где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член dy = f' (x0) Dх в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx=Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y: d(dy)=d2y.
Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому
d2y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx·dx = f ''(x)(dx)2.
Принято записывать (dx)2 = dx2. Итак, d2у= f''(x)dx2.
Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:
d3y=d(d2y)=[f ''(x)dx2]'dx=f '''(x)dx3.
Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: dn(y)=d(dn-1y)dny = f (n)(x)dxn
Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy≈f'(x0)·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
Откуда f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
Инвариантная форма первого дифференциала.
df(x)=f’(x)dx
Доказательство:
1)
2)
(9)
Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их следствия. Геометрический смысл теорем Ферма, Ролля и Лагранжа.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида , , , , , , с помощью правила Лопиталя.
Формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано и Лагранжа. Разложения по формуле Тейлора функций , , , , , в окрестности точки . Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.
-
Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того
-
Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
-
Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть Обратное утверждение неверно.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем .
.
Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.
Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.
Теорема Ферма
Если f(x) дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение для некоторой окрестности точки x0, то f’(x)=0.
Доказательство:
пусть f(x0) – наибольшая.
Теорема(Ролля) Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b). Тогда существует число такое, что f ' (c) = 0.
Доказательство. Так как функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения.
Обозначим
Если M = m, то f(x) = const . Следовательно, f '(x) = 0 для любого , и теорема для данного случая верна. Пусть теперь M≠m. Пусть M>f(a)=f(b). Тогда найдется число такое, что f(c)=M. При этом имеют место неравенства
Переходя к пределу, получаем
Если при M ≠ m выполнены равенства M = f(a) = f(b), тогда m < f(a) = f(b).
Рассмотрим функцию y = g(x) = - f(x).
Для этой функции и - m > g(a) = g(b).
Из доказанного выше следует, что существует число такое, что g ' (c) = 0. Так как g ' (c) = - f(c), то f(c) = 0 . Теорема доказана.
Теорема Коши(об отношении приращения двух функций)
Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g ' (x) ≠ 0 на (a, b).
Тогда существует число такое, что
Доказательство. Заметим, что g(b) ≠ g(a). (Если g(b) = g(a), то, по теореме Ролля, существует число такое, что g ' (c) = 0.)
Введем обозначение: .
Рассмотрим функцию , которая непрерывна на , дифференцируема на (a, b) и F(a) = F(b) = 0, т.е. функция F удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Следовательно, существует число такое, что F ' (c) = 0.
Так как . Теорема доказана.
Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале (a, b).
Тогда существует число , такое, что .
Доказательство. Необходимо положить g(x) = x и применить теорему Коши. Теорема доказана.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
Замечание. Отметим, что формула справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значений f(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).
Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде (1)
В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .
Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:
Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.
Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.
Подставим в (1) x = x0 и найдем , но с другой стороны . Поэтому
Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .
Учитывая третье условие и то, что ,
получим , т.е. .
Далее . Значит, , т.е. .
Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:
Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.
Оказывается, что если x0 Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1)(x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:
Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.
Формула
где x Î (x0, x) называется формулой Тейлора.
Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде
где x Î ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.
; ; ; ; ; ; ;
(10)
Приложение производной к исследованию функций.
Монотонные функции. Необходимое и достаточное условия монотонности функции. Достаточное условие строгой монотонности.
Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Первое и второе достаточные условия экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Выпуклость, вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости, вогнутости. Точка перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.
Асимптоты графика функции. Вертикальная асимптота. Наклонная асимптота и критерий ее существования.
Общая схема исследования функции.
Приложение есть правило Лопиталя - Теорема (правило Лопиталя).
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.
Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю то функция называется стро́го моното́нной.
Теорема: Критерий постоянства фун.
Функция f(x)=const на промежутке [a,b], тогда, когда f’(x)=0 на интервале (a,b).
Док-во: f(x)=c => f’(x)=c’=0 возьмем x[a,b] и применим т. Лангранжа f(x) [a,b] по т. Лангранжа f(x)-f(a)=f’(c)(x-a); c(a,x); f(x)-f(a)=0; f(x)=f(a) для любого x => f(x)=const.
Теорема: Достаточный признак возрастания функции. Если f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b].
Док-во:
возьмем x1, x2 [a,b]: x1<x2 => f(x2)>f(x1)
применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2]
по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0 => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являются необходимыми.
Теорема: достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b].
Док-во 1: подобно предыдущему.
Док-во 2: g(x)=-f(x),тогда g’(x)=-f’(x)>0
=> g(x) - возрастает => f(x) – убывает.
Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b).
f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)0 (a,b).