ТФКП и ОП

71

4. РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим сначала некоторые основные понятия из теории рядов, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Пусть {zk } - заданная числовая последовательность с комплексными числами. Тогда выражение

k=1

называется числовым рядом с комплексными членами.

Ряд (4.1) называется сходящимся, если сходится последова-

n

тельность {Sn } его частичных сумм Sn = ∑zk . При этом предел

k=1

последовательности частичных сумм называется суммой ряда:

S = lim Sn .

n→∞

Необходимым условием сходимости ряда (4.1) является ус-

ловие lim zn = 0, а необходимым и достаточным признаком его

n→∞

сходимости является критерий Коши [10].

n

Если сходится ряд ∑ zk , составленный из модулей членов

k=1

ряда (4.1), то ряд (4.1) называют абсолютно сходящимся. Это понятие является очень важным, так как один из наиболее распространенных способов исследования сходимости рядов с комплексными членами состоит в рассмотрении рядов из действительных чисел, являющихся модулями членов исходного ряда. Как известно, достаточными признаками сходимости рядов, составленных из положительных действительных чисел, являются признаки Даламбера и Коши [10].

Пусть в области D определена бесконечная последовательность однозначных функций комплексной переменной {fn (z)}.

∞

Выражение ∑ fn (z) называется функциональным рядом.

n=0

Последовательность функций комплексной переменной {fn (z)} называется равномерно сходящейся к функции f (z) в об-

ласти D , если для любого малого ε > 0 найдется такое число N,

72

зависящее от ε , что при n ≥ N (ε) для всех z D выполняется не-

равенство fn (z) − f (z) < ε.

С понятием равномерно сходящейся последовательности тесно связано понятие равномерной сходимости ряда: функцио-

∞

нальный ряд ∑ fn (z) называется равномерно сходящимся в об-

Так же, как в математическом анализе для действительных функций, может быть доказан удобный для применения доста-

точный признак равномерной сходимости функциональных рядов в комплексной области (признак Вейерштрасса16):

∞

если функциональный ряд ∑ fn (z) в области D мажорируется

n=0

некоторым сходящимся числовым знакоположительным рядом

∞

∑an , то есть для любой точки z D fn (z) ≤ an , то данный

n=0

функциональный ряд сходится в D равномерно.

Равномерно сходящиеся ряды в комплексной области, как и в случае действительной переменной, обладают важными для приложений свойствами, в частности, для них допустима перестановка порядка суммирования и интегрирования, то есть

Для равномерно сходящихся функциональных рядов в комплексной области справедлива теорема Вейерштрасса:

∞

Если ряд ∑ fn (z) , составленный из функций, аналитических

n=0

в односвязной области D , равномерно сходится в этой области,

16Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (31.10.1815 – 19.02.1897)

-немецкий математик.

73

то его сумма f (z) также является аналитической функцией в

этой области.

Рассмотрим далее один из наиболее важных частных случаев функциональных рядов, а именно, степенные ряды в комплексной области вида

∞

f (z) = ∑Cn (z − z0 )n ,

n=0

где Cn - коэффициенты ряда (любые комплексные числа), z – комплексная переменная, z0 - точка, называемая центром ряда.

Основной теоремой теории степенных рядов в комплексной области является теорема Абеля17.

∞

Если степенной ряд ∑Cn zn сходится для некоторого значе-

n=0

ния переменного z0 , то он сходится, и притом абсолютно, для

всех значений переменного с меньшим модулем.

∞

Действительно, если ряд ∑Cn z0n сходится, то его члены ог-

При разных n числа Mqn образуют убывающую геометриче-

∞

скую прогрессию. Следовательно, числовой ряд ∑Mqn сходит-

n=0

ся, и на основании принципа сравнения рядов с неотрицательны-

сходится и притом абсолютно.

Условие z < z0 геометрически означает, что если степен-

17 Абель Нильс Генрик (05.08.1802-1829) – норвежский математик.

75

Рис. 30

Воспользуемся формулой для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен единице, а знаменатель q <1:

Модули членов этого функционального ряда равны соответствующим членам сходящегося числового ряда (4.3). Поэтому на основании достаточного признака сходимости функциональных рядов можно заключить, что ряд (4.3) является мажорирующим для ряда (4.4). Следовательно, на основании признака Вейерштрасса ряд (4.4) сходится абсолютно и равномерно и его можно почленно интегрировать.

Возвращаясь к выражению (4.2), можно записать

78

Как следует из общей теории степенных рядов (в частности, из теоремы Абеля), областью сходимости ряда Тейлора является круг с центром в точке z0 :

радиус сходимости которого R равен расстоянию от точки z0 до ближайшей особой точки и определяется по формуле

4.2. Ряд Лорана21

Пусть f (z) - аналитическая функция в кольцевой области r < z − z0 < R , ограниченной концентрическими окружностями Г′и Г′′с центром в точке z0 (см. рис. 31), и пусть z - любая внут-

ренняя точка этого кольца. Если радиус внутренней окружности равен нулю, то кольцо становится кругом с “выколотым” центром; если радиус внешней окружности равен ∞, то кольцо становится внешностью круга.

Проведем внутри кольца дополнительные окружности C′ и C′′ с центром в точке z0 так, чтобы точка z оказалась между ни-

ми (рис. 31). Описав из точки z , как из центра, окружность γ ма-

лого радиуса так, чтобы она находилась между окружностями C′ и C′′, и применяя теорему Коши для сложного контура, запишем равенство

20Адамар Жак Саломон (08.12.1865 – 17.10.1963) – французский математик.

21Лоран Пьер Альфонс (1813 – 1854) – французский математик.

79

Рис. 31

ς − z0 , поэтому, проводя преобразования, аналогичные тем, которые применялись при выводе ряда Тейлора, можно записать раз-

Умножая это равенство почленно на f (2ςπ)idς и интегрируя

вдоль контура C′′, для первого из интегралов в правой части формулы (4.16) получим

80

Заметим, что выражение (4.18) нельзя, как это было сделано при