ТФКП и ОП

184

9.Вычислить интеграл функции комплексной переменной по замкнутому контуру С, применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

∫ dz , C : z =1.

С z sin z

10. Найти изображение F(p) по Лапласу функции действительной переменной f(t) = 5e–2t+ 2ch3t sin2t.

11. Найти оригинал f(t) по его изображению по Лапласу

12.С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными ко-

Вариант № 30

1. Записать комплексное число a = –3i в тригонометрической и показательной формах и показать его положение на комплексной плоскости x0y с указанием модуля и аргумента.

2. Выполнить указанные действия с двумя комплексными чис-

лами a = –3i и b = –1 – i: a + b, a – b, a b, a/b, a4, 3 a .

3. Вычислить функцию w = 2 − 3shz2 при z = –1 – i и показать числа z и w на комплексных плоскостях x0y и u0υ.

4. Построить отображение области D на плоскости x0y на плоскость u0υ с помощью функции комплексной переменной w = ez.

5. Вычислить предел

6. Найти все нули и особые точки функции комплексной переменной и указать их тип

w = cos 2z + 3shz на аналитичность и найти её производную.

185

8. Вычислить определённый интеграл функции комплексной переменной

2+i

∫zezdz .

1

9.Вычислить интеграл функции комплексной переменной по замкнутому контуру С, применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

∫ z −1 dz, C : z = 2.

С (z −i)(z +1)

10. Найти изображение F(p) по Лапласу функции действительной переменной f(t) = 2e–2tcht + etsint.

11. Найти оригинал f(t) по его изображению по Лапласу

F (p)= p41+1 .

12.С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для

линейного дифференциального уравнения с постоянными ко- y′′− 9 y )= 0, y′(0)= 0 (t ≥ 0).эффициентами = sh3t, y(0

186

ЛИТЕРАТУРА

1.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Изд-во “Наука”, Глав. ред. физ.-матем. лит-

ры, 1968. 416 с.

2.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Учебное пособие для втузов. Задачи и упражнения. 2-е изд. перераб. и доп. М.: Изд-во “Наука”, Глав. ред. физ.-матем. лит-ры, 1981. 304 с.

3.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного М.: Изд-во “Наука”, Глав. ред. физ.-

матем. лит-ры, 1973. 736 с.

4.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 13-ое изд. М.: Изд-во “Наука”, Глав. ред. физ.-

матем. лит-ры, 1984. 432 с.

5.Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. 4-е изд. М.: Изд-во “Наука”, Глав. ред. физ.-

матем. лит-ры, 1979. 319 с.

6.Дëч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z – преобразования. М.: Изд-во “Наука”, Глав. ред. физ.-матем. лит-ры, 1971. 288 с.

7.Кузьмин Р.О., Фаддеев Д.К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. Л.: Гос. учебно – педагогическое изд-во Наркомпроса РСФСР, Ленинградское отделение, 1939. 188 с.

8.Корнейчук Л.Г. Элементы теории функций комплексной переменной. Методические указания к решению задач для студентов всех специальностей под редакцией чл.- корр. РАН Э.И.Григолюка. М.: МАМИ, 1998. 44 с.

9.Корнейчук Л.Г. Методические указания к решению задач по операционному исчислению для студентов всех специальностей под редакцией чл.- корр. РАН Э.И.Григолюка. М.:

МАМИ, 2001. 32 с.

10.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Том 2. Изд. 5-ое стереотипное. М.: Изд-во “Наука”, Глав. ред. физ.-

матем. лит-ры, 1968. 464 с.

187

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

BВЕДЕНИЕ…………………………………………………. 3

1КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ…………………………………………………. 6 1.1 Геометрическая интерпретация комплексного

2.1Геометрическая интерпретация функции комплексной переменной………………………….. 26

2.2Свойства элементарных функций комплекс-

ной переменной………………………………… 33

2.3Логарифмическая функция комплексной пе-

ременной………………………………………… 37

2.4Непрерывность и дифференцируемость функ-

ций комплексной переменной……………….. 40

2.5Условия Коши – Римана………………………. 42

2.6Связь аналитических функций с гармониче-

скими……………………………………………. 45

2.7Геометрический смысл производной и модуля

производной от аналитической функции…….. 47

3ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКС-

НОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ………………………………. 50

3.1Понятие контурного интеграла от функции

Комплексной переменой……………………… 50

3.2Интегралы от аналитических функций.

Теорема Коши…………………………………. 55

3.3Интегральная формула Коши…………………. 62

3.4Интегральное представление производной от аналитической функции……………………….. 64

4 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ………... 71

4.1Ряд Тейлора…………………………………….. 74

4.2 Ряд Лорана……………………………………… 78

4.3Нули и особые точки аналитической функции,

их классификация……………………………… 86

4.4Понятие вычета. Основная теорема о выче-

тах……………………………………………….. 91

188

4.5Техника вычисления вычетов…………………. 92

5.4Решение обыкновенных линейных дифферен-

189

Для заметок

190

Учебное пособие

Коган Ефим Александрович

Учебное пособие по курсу ‘Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление” для студентов всех специальностей и направления подготовки дипломированных специалистов и бакалавров очного и очно - заочного отделений

Под редакцией зав. кафедрой проф. Корнейчука Л.Г.

Оригинал – макет подготовлен редакционно – издательским отделом МГТУ «МАМИ»

По тематическому плану внутривузовских изданий учебной литературы на 20011 г.

Гарнитура «Таймс». Ризография. Усл. п. л.

МГТУ «МАМИ» 107023, г. Москва, Б. Семеновская, 38.