Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТФКП и ОП

.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

arg z =π / 2; если z

- мнимое число с отрицательной мнимой ча-

стью, то arg z = −π / 2.

Очевидно,

, а arg z = −arg z.

Таким образом, два комплексных числа z1

равны тогда

и только тогда,

когда равны их модули, а аргументы или равны,

или отличаются на величину, кратную 2π :

Arg z1 = Arg z2 + 2kπ.

Из определения модуля и аргумента следует (см. рис. 1), что

x = r cosϕ =

cosϕ, y = r sinϕ =

sinϕ,

(1.3)

следовательно,

cosϕ = x

, sinϕ = y

tgϕ = y .

x2 + y2

+ y2

Пользуясь формулами (1.3), можно перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к так называемой триго-

нометрической форме записи:

z = x +iy = r(cosϕ +i sin ϕ).

(1.4)

Над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, удобно производить операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Пусть даны два комплексных числа: z1 = r1 (cosϕ1 +i sinϕ1 ) и z2 = r2 (cosϕ2 +i sinϕ2 ). Перемножая их, получим

z1z2 = r1r2 (cosϕ1 +i sinϕ1 )(cosϕ2 +i sinϕ2 ) = r1r2[(cosϕ1 cosϕ2 − −sinϕ1 sinϕ2 ) +i(cosϕ1 sinϕ2 +cosϕ2 sinϕ1 )] = r1r2[cos(ϕ1 +ϕ2 ) +

+i sin(ϕ1 +ϕ2 )].

В результате

z1z2 = r1r2[cos(ϕ1 +ϕ2 ) +i sin(ϕ1 +ϕ2 )].

(1.5)

Итак, при умножении комплексных чисел, заданных в триго-

нометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются: z1z2 = z1 z2 , Arg(z1z2 ) = Arg z1 + Arg z2 .

Это правило остается справедливым для любого числа комплексных сомножителей.

Из (1.5) следует, что при умножении комплексного числа z1 на z2 вектор z1 растягивается в z2 раз и поворачивается на угол

arg z2 (против часовой стрелки). В частности, умножение ком-

плексного числа z

на i

сводится к повороту изображающего его

вектора на 90o.

При делении комплексных чисел ( z2 ≠ 0)

их модули делятся, а

аргументы вычитаются:

= Arg z1

−Arg z2 .

Arg

Следовательно,

[cos(ϕ −ϕ

) +i sin(ϕ −ϕ

)].

(1.6)

Из правила умножения при z1 = z2 =... = zn = r(cosϕ +i sinϕ) следует правило возведения в целую положительную степень:

zn = rn (cos nϕ +i sin nϕ).

(1.7)

В частности, при r =1 получается важное равенство, назы-

ваемое формулой Муавра7

(cosϕ +i sinϕ)n = cos nϕ +i sin nϕ.

(1.8)

Эта формула имеет многочисленные применения. Одно из них базируется на том, что левая часть формулы при натуральном числе n вычисляется по формуле бинома Ньютона8:

			n
	(a +b)n = ∑Cnk an−k bk = an + nan−1b + n(n −1) an−2b2				+...
			k=0	2
... +Cnk an−k bk				+... +bn ,
где Cnk =		n!	-	число сочетаний из n элементов по k эле-
где Cnk =		k!(n − k)!	-	число сочетаний из n элементов по k эле-
		k!(n − k)!

ментов.

В частности, при n = 2 имеем по формуле Муавра

(cosϕ +i sinϕ)2 = cos 2ϕ +i sin 2ϕ,

а с другой стороны,

(cosϕ +i sinϕ)2 = cos2 ϕ −sin2 ϕ + 2i cosϕsinϕ = cos 2ϕ +i sin 2ϕ.

Приравнивая действительные и мнимые части этих равенств,

7Муавр Абрахам де (26.05.1667 – 27.11.1754) – английский математик.

8Ньютон Исаак (04.01.1643 – 31.03.1727) – английский физик и математик.

получим известные в тригонометрии формулы двойного угла: cos 2ϕ = cos2 ϕ −sin2 ϕ, sin 2ϕ = 2sinϕ cosϕ.

Аналогично, для n = 3 находим

(cosϕ +i sinϕ)3 = cos 3ϕ +i sin 3ϕ = cos3 ϕ +i 3cos2 ϕsinϕ +

+3i2 cosϕsin2 ϕ +i3 sin3 ϕ = cos3 ϕ −3cosϕsin2 ϕ +i(3cos2 ϕsinϕ −

−sin3 ϕ),

откуда следуют равенства:

cos 3ϕ = cos3 ϕ −3cosϕsin2 ϕ, sin 3ϕ = 3sin ϕ cos2 ϕ −sin3 ϕ и т.д.

Одно из наиболее важных приложений формулы Муавра состоит в том, что она позволяет находить корни любой целой положительной степени из комплексных чисел.

Извлечь корень целой положительной степени n из комплексного числа z – значит найти такое число w = n z , n –ая сте-

пень которого равна z :		wn = z.
Пусть	z = r(cosϕ +i sinϕ) и		w = ρ(cos β +i sin β). Тогда
wn = ρn (cos nβ +i sin nβ) ,		ρn = r,	nβ =ϕ + 2kπ. Поэтому
ρ = n r, β =	ϕ + 2kπ .
	n
Следовательно, корень n –ой степени из комплексного

числа имеет n различных значений и определяется по формуле

n	z = n r(cosϕ +i sinϕ) =	n		ϕ + 2kπ	+i sin	ϕ + 2kπ
	z = n r(cosϕ +i sinϕ) =		r cos	n	+i sin	n	, (1.9)
				n		n

(k = 0,1,2,..., n −1).

Используя формулу Эйлера (см. ниже) eiϕ = cosϕ +i sinϕ,

легко перейти от тригонометрической к так называемой показа-

тельной форме записи комплексного числа

z = reiϕ .

(1.10)

Пример 1. Найти действительную и мнимую части ком-

плексного числа z = 12−+33ii .

Умножаем числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю, и в полученном выражении выделяем действительную и мнимую части:

											14
z =	1− 3i				2 −3i		=	2 +3 3i2 − 2 3i −3i						=	2 −3 3		+i	− 2 3	−3	,
z =		2 +3i			2 −3i		=			4 −9i2				=	13		+i	13		,
		2 +3i			2 −3i					4 −9i2					13			13
Re z = x =				2 −3 3 ; Im z = y =							− 2 3 −3.
					13						13
		Пример 2. Вычислить модуль и аргумент комплексных чи-
сел		z = 1 +i				3 ;		z	2	= − 1 +i	3 ;	z	3	= −1 −i			3 ;
		1	2			2			2	2	2		3		2	2
			2			2				2	2				2	2
z4 =		1 −i		3 ,		записать их в тригонометрической и показательной
		2		2
формах.								x = 1 > 0,				3 > 0. Поэтому точка, изобра-
		Для числа					z	x = 1 > 0,			y =	3 > 0. Поэтому точка, изобра-
							1			2		2
										2		2

жающая данное комплексное число, расположена в первой четверти комплексной плоскости (см. рис.4). Очевидно,

	1	2		3	2
z1 =	1			3		=1 = z2	= z3 = z4 .
z1 =			+	2		=1 = z2	= z3 = z4 .
	2			2

Рис. 4

Непосредственно из геометрических соображений легко установить, что

arg z

=ϕ =

π ,

arg z

=ϕ

2π

arg z

=ϕ

= −

2π

= −π .

arg z4 =ϕ4

Поэтому

2π

−i

= cos

+i sin

= e 3 ,

= cos

−

+i sin −

3 ,

2π

−iπ

= cos

+i sin

= e

3 ,

= cos

−

+i sin −

= 2e

3 .

Пример 3. Записать в тригонометрической форме числа

z1 = 2 +5i, z2 = −2 +5i, z3 = −2 −5i, z4 = 2 −5i.

Очевидно,

22 +52

29 (i =1,2,3,4).

Число z1 находится в первой четверти комплексной плоско-

сти, для него tgϕ =

= 5 , ϕ = arctg 5

. Поэтому

z1 =

+i sin arctg

29 cos arctg

Число z2 = −2 +5i находится во второй четверти комплексной плоскости. Для него (см. рис. 5)

Рис. 5

																									16
		tgϕ0			=					5	, ϕ0		= arctg							5		,			ϕ2		=π −ϕ0 =π −arctg														5			,
		tgϕ0			=				2		, ϕ0		= arctg							2		,			ϕ2		=π −ϕ0 =π −arctg																	,
									2											2																				2
				z2	=				29						π	−arctg								5												5
				z2	=				29			cos			π	−arctg									+i sin π −arctg													.
																								2												2
		Аналогично находим, отсчитывая ϕ3 и ϕ4 по часовой стрел-
ке (см. рис. 5)											для числа z3 :
	tgϕ0			=		5		,			ϕ0 = arctg						5		,	ϕ3					= −(π −ϕ0 ) = −π +arctg																		5		,
	tgϕ0			=	2			,			ϕ0 = arctg						2		,	ϕ3					= −(π −ϕ0 ) = −π +arctg																	2			,
					2												2																									2
	z3 = −2 −5i										=	29							−	π + arctg										5																5			;
	z3 = −2 −5i										=	29		cos					−	π + arctg										2	+i sin −π + arctg															2			;
																														2																2
для числа z4																y					5													5												5
											:	tgϕ4		=				= −						,		ϕ4 = arctg							−		= −arctg													,
											:	tgϕ4		=		x		= −			2			,		ϕ4 = arctg							−	2	= −arctg											2		,
																x					2													2												2
				z4		= 2 −5i =								29									−arctg						5											5
				z4		= 2 −5i =								29			cos						−arctg						2		+i sin −arctg									2		.
																													2											2
		Пример 4. Вычислить																		(				3 −i)5 .
		Число							z =			3 −i			находится												в 4-ой четверти комплексной
плоскости. Его модуль и аргумент равны:																																							π .
											z =			(		3)2 +(−1)2											= 2,					arg z =ϕ = −							π .
		Применяя формулу Муавра, находим																																						6
		Применяя формулу Муавра, находим
( 3 −i)			5	= 2			5							π											−5			π									π		−i sin								π		=
( 3 −i)				= 2					cos −5						6		+i sin								−5			6		= 32 −cos								6	−i sin										=
															6													6										6										6
= −16( 3 +i).
																										1					3	27						1								3		27
		Пример 5. Вычислить: a)																								1	+i				3					−		1		+i						3			;
		Пример 5. Вычислить: a)																								2	+i				2	;	б)			−		2		+i				2					;
																										2					2							2						2
	1					27									1					3			27
	1	−i		3					;						1	−i				3
в)	2	−i		2					;		г) −				2	−i			2				.
	2			2											2				2

																											17
Очевидно,											1		+i			3		= −					1		+i			3 =				1				−i						3		= − 1		−i			3		=1.
											2				2								2				2					2									2				2			2
		Аргументы заданных чисел равны:
						1						3				π																	1									3					π			2π
						1		+i				3				π	,													−			1			+i						3					π	=		2π			,
ϕ1 = arg						2		+i			2			=		3	,						ϕ2 = arg							−			2			+i						2		=π −			3	=			3		,
						2					2					3																	2									2					3				3
							1											π																	1								3			2π
ϕ3							1		−i				3					π				,									−				1		−i						3			2π		.
ϕ3	= arg						2		−i		2			= −				3				,		ϕ4 = arg							−				2		−i					2			= −		3	.
							2				2							3																	2							2					3
		Применяем формулу Муавра, тогда:
		1							3		27							π								π			27															π								π

а)				+i																		+i sin																											27
а)		2		+i				2					= cos					3				+i sin								= cos 27															+i sin				27				3	=
		2						2										3								3																		3									3
= cos9π +isin 9π = −1;
аналогично,
			1							3		27								2π								2π				27

б)					+i									=										+i sin												== cos18π +i sin18π =1;
б)	−		2		+i				2					=	cos						3			+i sin					3							== cos18π +i sin18π =1;
			2						2												3								3
		1							3		27											π									π							27

в)				−i															−																							== cos9π −i sin 9π = −1;
в)		2		−i				2					= cos						−						+i sin −							3										== cos9π −i sin 9π = −1;
		2						2														3										3
г)										27
	1						3			27									2π											2π									27

		−i									=																															== cos18π −i sin18π =1.
−	2	−i				2					=		cos −							3				+i sin −							3											== cos18π −i sin18π =1.
	2					2														3											3
		Пример 6.												Вычислить ii .
		В данном случае мнимое число в основании степени удобно
																																											π				π				π
представить в показательной форме: i = cos																																											π		+i sin		π	= ei 2 . Тогда
																												i															2				2
																											iπ	i						i2 π									−π
																						i	i				2									2				= e				2	.
																						i		= e				= e												= e					.

Пример 7.

Даны

два

комплексных

числа

z1 =1− 3i и

= −1+i. Вычислить

w = z

z24

Для удобства выполнения указанных действий представим

заданные числа в тригонометрической форме.

z1 =1−

3i = x +iy,

x =1 > 0,

y = −

3 < 0. Следовательно,

arg z1 = −

= 2.

Поэтому z1 =

−

2 cos −

+i sin

Аналогично находим

3π

+i sin

3π

Тогда

2 cos

= 2

−

2π

−

2π

= −2(1+

3i),

cos

+i sin

3π

9π

= (

cos 6

+i sin 6

8 cos

+i sin

= 8i,

= z2 z

= −2(1+

3i) 8i =16(

3 −i).

Так как

3 = 23

[cos(−π )+i sin(−π )]= −8,

3π

= (

cos 4

+i sin

= −4,

то

= 2.

Пример 8.

z1 = 2 + 4i и z2

= 4 − 2i. Вы-

Даны два комплексных числа

числить

w =

z23

z1 = 2 + 4i

x1 = 2 > 0, y1 = 4 > 0.

Для комплексного числа

Находим

z =

22 + 42

= 2 5 = z

, cosϕ = x1

5 ,

5 .

ϕ = arccos

(1.11)

Поэтому

z1 = 2

5(cosϕ1 +i sinϕ1 ) и по формуле Муавра

= (2 5)4 (cos 4ϕ +i sin 4ϕ ).

Для комплексного числа z2 = 4 − 2i x2 = 4 > 0, y2 = −2 < 0.

точка, изображающая z2 ,

находится в четвертой четверти ком-

плексной плоскости:

tgϕ2

= −

, поэтому

arg z2

=ϕ2 = arctg −

= −arctg

(1.12)

тогда

z2 = 2

5(cosϕ2 +i sin ϕ2 ) и

z23

= (2 5)3 (cos 3ϕ2 +i sin 3ϕ2 ).

В результате

5)4 (cos 4ϕ +i sin 4ϕ )

w =

z23

5)3 (cos3ϕ2 +i sin 3ϕ2 )

= 2

5[cos(4ϕ1 −3ϕ2 ) +i sin(4ϕ1 −3ϕ2 )],

где ϕ1

и ϕ2

определяются по формулам (1.11), (1.12).

Пример 9. Найти сумму пяти комплексных чисел z1, z2 ,..., z5 при условии, что их модули равны единице, а аргументы равны соответственно 0o, 72o, 144o, 216o, 288 [7].

Заданные числа изображаются радиусами правильного пятиугольника ABCDE (рис. 6).

Рис. 6

Воспользуемся тем, что сумма нескольких комплексных чисел может быть представлена как геометрическая сумма векторов, изображающих эти числа. В рассматриваемом случае сумма пяти чисел изобразится тем же вектором, что и равнодействую-

щая векторов OA, OB, OC, OD, OE. Так как они расположены

симметрично относительно действительной оси 0x , то их равнодействующая должна быть направлена вдоль этой оси. Но, с другой стороны, те же векторы симметричны относительно прямой OD. поэтому их равнодействующая должна быть одновременно направлена и по прямой OD. Это возможно, только при

z1 + z2 + z3 + z4 + z5 = 0.

Алгебраическое же решение задачи оказывается существенно более сложным. Действительно, записывая эти числа в тригонометрической форме:

=1 = cos 0 +i sin 0,

= cos

2π

+i sin

2π

= cos

4π

+i sin

4π

= cos

6π

+i sin

6π

= cos

8π

+i sin

8π

и суммируя их, имеем

2π

4π

6π

8π

z + z

+ z

=1+cos

+ cos

2π

+sin

4π

+sin

6π

+sin

8π

= 0.

+i sin

Полученное комплексное число должно быть равно нулю. Поэтому следует приравнять нулю его действительную и мнимую части:

1+ cos 25π + cos 45π + cos 65π + cos 85π = 0, sin 25π +sin 45π +sin 65π +sin 85π = 0.

Второе	равенство проверяется легко с помощью формул приве-
			2π		π
дения.	Первое же приводится к виду	1+ 2 cos		−cos		= 0	и
дения.	Первое же приводится к виду	1+ 2 cos	5	−cos	5	= 0	и
			5		5

проверяется достаточно сложно. Пример 10. Извлечь 6 −1.

Так как в тригонометрической форме −1 = cosπ +i sin π, то

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.201578.34 Кб38ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ.doc
#
27.03.2016280.2 Кб48Тренировочная работа форматирование в Excel.pdf
#
27.03.201696.26 Кб64тсп КПземляные работы.doc
#
27.03.201616.76 Mб1318ТСП Лекции.doc
#
27.03.20161.24 Mб150ТСП ПЗ.doc
#
27.03.20162 Mб157ТФКП и ОП.pdf
#
27.03.2016682.64 Кб255Тяговый расчет ГМ.pdf
#
06.09.2019430.08 Кб28уитс.doc
#
23.11.20181.17 Mб65УМК для менеджеров.doc
#
23.11.20191.15 Mб12УМК для экономистов.doc
#
15.09.20191.59 Mб13УМК Отечественная история (2010).doc