ТФКП и ОП

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

z2 −3z + 2

.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

	61
Вычислить интеграл	C∫(z −dzz0 )n по замкнутому односвязно-

му контуру C, если n –целое положительное число (см. рис. 25).

Рис. 25

При n ≤ 0 подынтегральная функция аналитическая во всей

области, и по теореме Коши ∫	dz	n = ∫(z − z0 )m dz = 0,
C (z − z0 )		C
(m = −n ≥ 0) . Аналогично, если точка z = z0			находится вне облас-
ти, ограниченной контуром C, то	C∫(z −dzz0 )n		= 0.

Будем предполагать, что обход контура C вокруг точки z0

производится в положительном направлении. Согласно теореме Коши для двухсвязной области вместо заданного сложного контура C можно взять любой более простой контур, содержащий точку z0 . Поэтому в качестве контура C возьмем окружность ра-

диуса R с центром в точке z0 . Уравнение окружности в комплексной форме будет иметь вид:

z − z0 = Reiϕ , (0 ≤ϕ ≤ 2π).

(3.7)

Действительно, равенство (3.7) описывает геометрическое место

точек, равноудаленных от z0

на расстояние R =

z − z0

Поэтому dz = Rie

iϕ

dϕ и ∫

2π Rieiϕdϕ

2π

(1−n)ϕ

dϕ.

(z − z0 )

= ∫

inϕ

n−1

∫e

При n =1 получим

2∫π dϕ = 2πi.

∫

= i

(3.8)

z − z0

Как видно из полученной формулы, интеграл не зависит от радиуса окружности, что, впрочем, и следовало ожидать.

	dz		i	1	i(1−n)ϕ 2π
При n ≠1 (n = 2,3,...)	C∫(z − z0 )n	=	Rn−1	i(1−n) e	0	= 0,	так

как по свойству показательной функции комплексной перемен-

ной e2π (1−n)i =1.

Итак, если точка z = z0 находится внутри контура C, то ин-

теграл ∫ dz n отличен от нуля только при n =1.

C (z − z0 )

Распространяя доказанные теоремы на многосвязную область, можно показать справедливость теоремы Коши для сложного контура:

для многосвязной области, ограниченной простым замкнутым контуром C0 и n внутренними замкнутыми контурами C1,C2 ,

...,Cn , не пересекающимися друг с другом и обходимыми в одинаковом направлении,

	n
∫ f (z)dz = ∑∫ f (z)dz.
C	k=1 C	k
0		k

3.3. Интегральная формула Коши

Пусть функция w = f (z) - аналитическая в замкнутой одно-

связной области D (то есть в области с присоединенной к ней границей C) и z0 - произвольная внутренняя точка области D .

Составим вспомогательную функцию w =	f (z)	. Она уже не бу-

1	z − z0

дет аналитической в области D , так как точка z0 для нее особая. Проведем окружность Cr с центром в точке z0 , которая целиком

лежит в D . В получившейся двухсвязной области, ограниченной линиями C и Cr (рис. 26), функция w1 будет аналитической.

По теореме Коши для двухсвязной области

∫	f (z) dz = ∫			f (z) dz.
C	z − z	0	Cr	z − z	0

Рис. 26 Преобразуем интеграл в правой части к виду:

∫	f (z) dz = ∫			f (z) − f (z0 ) + f (z0 )dz			= ∫		f (z) − f (z0 )dz
Cr	z − z	0	Cr		z − z	0		Cr	z − z		0

Учитывая равенство (3.8), получим
				f (z) dz = 2πi f (z0 ) +			∫	f	(z) − f (z0 )dz.
			∫z − z		0				z − z	0
			C				Cr

+ f (z0 )C∫r z dz− z0 .

(3.9)

Из последнего равенства следует, что, так как первые два слагаемых не зависят от радиуса r, то и интеграл в правой части не зависит от r. Оценим этот интеграл, используя теорему об

оценке модуля интеграла.

На окружности Cr

z − z0

= r. Пусть max

f (z) − f (zo )

= M . Тогда

f (z) − f (z0 )

≤

для любой точки z на Cr и

z − z0

∫

f (z) − f (z

)

z − z

dz ≤

L = r 2πr = 2πM , где L - длина окружности

Cr . В пределе (при

r → 0 )

z → z0 и lim f (z) = f (z0 ) , так как

z→z0

функция f (z)

непрерывная.

Следовательно,

f (z) − f (z0 )

→ 0 ,

M → 0 и ∫ f (z) − f (z0 )dz = 0.

z − z

Поэтому из (3.9) следует, что для любой внутренней точки области, где f (z) аналитична, справедлива формула

∫	f (z) dz = 2πi
C	z − z0	1
	f (z0 ) =	1
		2πi C∫

f (z0 ) или
f (z) dz.	(3.10)
z − z0

Формула (3.10) называется интегральной формулой Коши,

а интеграл в еë правой части – интегралом Коши. Интегральная формула Коши играет очень важную роль в

теории аналитических функций. Объясняется это тем, что она решает краевую задачу для аналитической функции, так как позволяет находить значения аналитической функции в любой внутренней точке двумерной области по еë значениям на границе C. Тем самым, по существу, понижается размерность решаемой задачи.

Интегральная формула Коши используется также для вычисления интегралов по замкнутым контурам.

3.4. Интегральное представление производной от аналитической функции

Используя интегральную формулу Коши, можно доказать, что из аналитичности функции автоматически следует существование и аналитичность всех еë производных, а именно: если функция аналитична в области D и непрерывна на еë границе, то она обладает в каждой точке области D производными всех порядков.

Формальное дифференцирование обеих частей формулы (3.10) по z0 , причем в правой части - дифференцирование по па-

раметру под знаком интеграла [10], приводит к выражению для первой производной от аналитической функции через интеграл типа Коши:

f ′(z0 ) =	1	f (z)	dz.	(3.11)
	2πi C∫(z − z0 )2

Продолжая эту процедуру, для производной n –го порядка от аналитической функции получим формулу:

f (n) (z0 ) =	n!	f (z)	dz.	(3.12)
	2πi C∫(z − z0 )n+1

Примеры.

В приведенных ниже примерах, пользуясь интегральной формулой Коши, вычислить интегралы:


1) ∫	z2	dz,	если:	a)	C1 :	z		=1,
				a)

C	z −	2		б)	C2 :		z		= 3.

Изображаем контур интегрирования на комплексной плоскости, находим особые точки подынтегральной функции и выясняем их расположение относительно контура интегрирования

(см. рис. 27)

Рис. 27

В случае 1а) особая точка z0 = 2, в которой знаменатель обращается в нуль, расположена вне замкнутой области, ограни-

ченной окружностью

=1, поэтому функция

f (z) =

анали-

z −2

∫

тическая всюду в области, и по теореме Коши

dz = 0.

z −

В случае 1б) особая точка z0 = 2 находится внутри окружности z = 3. Поэтому согласно интегральной формуле Коши

z∫=3 zz−2 2dz = 2πi f (z0 ) = 2πiz2 z=2 =8πi.

Контур интегрирования – окружность с центром в начале координат радиуса r =1,5. Подынтегральная функция

			66
z	=	z	имеет две особые точки: z0	=1 и z0	= 2,
z2 −3z + 2	=	(z −1)(z −2)	имеет две особые точки: z0	=1 и z0	= 2,
z2 −3z + 2		(z −1)(z −2)

из которых только одна точка z0 =1 лежит внутри окружности z =1,5.

Преобразуем интеграл к виду интеграла Коши, выделяя под знаком интеграла в числителе функцию f (z), аналитическую в

круге z =1,5, и применяем интегральную формулу Коши:

zdz

∫

z −2

dz =

=1,5 z

−3z +

=1,5

(z −1)(z −

=1,5 z −1

= 2πif (z0 ) = 2πi

= −2πi.

cos zdz

−2 z=z0 =1

∫

z+2i

x2 + ( y + 2)2 = 32

Контур интегрирования – окружность:

центром в точке (0;-2) радиуса r = 3. Подынтегральная функция

cos z

имеет только одну особую точку z0

= −3i,

z2 +9

(z +3i)(z −3i)

лежащую внутри окружности

z + 2i

= 3. Поэтому

cos zdz

cos z

∫

= ∫

z −3i

dz =

z+2i

=3 z

z+2i

(z +3i)(z −3i)

z+2i

z +3i

= 2πi cos z

= 2πi cos(−3i) = −π cos 3i = −π ch3.

z −3i z=z0 =−3i

−6i

∫

e2 z

dz .

z−1

=5 z

−5z

(x −1)2 + y2

= 25

Контур

интегрирования – окружность

центром в точке (1;0). Подынтегральная функция имеет две особые точки z0 = 0 и z0 = 5, лежащие внутри окружности.

Проводим окружности γ1 и γ2 малого радиуса с центрами в

этих точках так, чтобы они не пересекались между собой и лежали целиком внутри контура C (см. рис. 28):

Рис. 28

В получившейся трехсвязной области подынтегральная функция аналитическая всюду. По теореме Коши для сложного контура

		e2 z		e2 z	e2 z
∫			dz = ∫z2 −5zdz + ∫z2 −5zdz .
∫	=5	z2 −5z	dz = ∫z2 −5zdz + ∫z2 −5zdz .
z−1	=5		γ1		γ2

Приводя каждый из интегралов в правой части к виду интеграла Коши, получим

e2 z

z−∫1 =5 z2 −5z

= 2πi ze−2 z5

		e2 z			e2 z
dz = γ∫z2 −5zdz +					γ∫z2 −5z
	1				2
+	e2 z		=	2π(e10 −1)
+			=
z0 =0 z					5
z0 =0 z		z0 =5			5

dz = ∫

γ1

e2 z				e2 z
z −5	dz + ∫			z	dz =
z	γ	2	z −5
		2

2-ой способ: Раскладываем рациональную дробь под знаком интеграла на простейшие:

1	=	1	=	A	+	B	и находим обычным образом

z2 −5z		z(z −5)		z		z −1

коэффициенты: A = −15 , B = 15 .Поэтому интеграл может быть представлен в виде

∫

e2 z

= −

∫

e2 z

dz +

∫

e2 z

dz.

−5z

z−1

z −5

Применяя к каждому интегралу интегральную формулу Ко-

ши, находим

e2 z

2πi

2 z

∫

dz = −

∫

dz +

∫

dz =

(−e

z=5 )=

z=0

z−1

−5z

z−1

=5 z −5

= 2π(e10 −1) i.

∫

e2 z

dz.

(z +1)

Подынтегральная функция аналитическая всюду в круговой

области

= 2, кроме точки

= −1, лежащей внутри окружно-

сти. Применим формулу для n –ой производной от аналитической

функции (3.12). При n = 2,

z0 = −1,

f (z) = e2 z получим

f ′′(z) = 4e2 z ,

f ′′(z0 ) = f ′′(−1) = e−2 , поэтому

∫

e2 z

dz = 2πi

4e−2 = 4π2i .

(z +1)

6) ∫

cosπz

dz.

−1)

z+1

Контур интегрирования – окружность (x +1)2 + y2 =1 с центром в точке (−1;0). Подынтегральная функция имеет две особые

точки, из которых одна z0

=1 лежит вне окружности, а другая:

z0 = −1, лежит внутри окружности.

Преобразуем интеграл к виду

cosπz

∫

cosπz

dz = ∫

cosπz

2 dz = ∫

(z −1)2

−1)

(z −1)

(z +1)

z+1

−1

z+1

−1

z+1

−1

и используем интегральное представление производной от аналитической функции при n =1:

f (z) =	cosπz	,	f ′(z) =	−π sin πz (z −1)2 − 2(z −1) cosπz	,
	(z −1)2			(z −1)4

′

∫

cosπz

2πi

πi

f (−1)

= −

. Поэтому

dz =

−

= −

−1)

z+1

−1

∫

dz.

(z +1)2 (z −2)

Знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в двух точках z1 = −1 и z2 = 2, лежащих внутри окружности z = 3.

Проводим окружности γ1 и γ2 малого радиуса с центрами в

этих точках так, чтобы они не пересекались между собой и лежали целиком внутри контура интегрирования. В получившейся трехсвязной области подынтегральная функция всюду аналитическая. По теореме Коши для сложного контура

	∫	ez		ez		ez
z	∫	(z +1)	2 (z −2) dz = ∫	(z +1)	2 (z −2) dz + ∫	(z +1)2 (z −2) dz. (3.13)
z	=3		γ1		γ2

К первому интегралу в правой части применяем формулу для производной от аналитической функции, причем под f (z)

подразумевается функция:

f (z) =

. Поэтому

z −

2πi

′

= 2πie

(z −3)

= −8πi .

∫

z − 2

dz =

(z +1)

−

(z − 2)

γ1

z=−1

Ко второму интегралу в выражении (3.13) применяем инте-

гральную формулу Коши:

∫

(z +1)

dz = 2πi(z

2π e2

∫(z +1)2 (z − 2) dz =

z − 2

+1)2

γ2

z=2

В результате

8πi

2π e2i

2π (e3 −4)

∫

dz = −

(z +1)2 (z −2)

2-ой способ:

Раскладываем рациональную дробь под знаком интеграла на простейшие:

						70
1	=	A	+	B	+	C		и находим обычным обра-
(z +1)2 (z − 2)	=	(z +1)2	+	z +1	+	z −	2	и находим обычным обра-
(z +1)2 (z − 2)		(z +1)2		z +1		z −	2

зом коэффициенты: A = −13 , B = −19 , C = 19 . Поэтому интеграл может быть представлен в виде

∫

dz = −

dz −

dz +

dz.

(z +1)2 (z − 2)

(z +1)2

z +1

z − 2

(3.14)

Для вычисления первого интеграла в правой части формулы

применяем равенство (3.12) при n =1, тогда

2πi

z ′

2πi

∫

dz =

)

z=−1 =

(z +1)2

Второй и третий интегралы вычисляем, применяя инте-

гральную формулу Коши:

∫

dz = 2πi(ez )

z=−1

2πi

;

∫

dz = 2πi(ez )

z=2 = 2πe2i.

z +1

z −

Окончательно получим

∫

1 2πi

2πi

2π(e3 − 4)

dz = −

−

2πe

i =

(z +1)2 (z − 2)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.201578.34 Кб38ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ.doc
#
27.03.2016280.2 Кб48Тренировочная работа форматирование в Excel.pdf
#
27.03.201696.26 Кб64тсп КПземляные работы.doc
#
27.03.201616.76 Mб1318ТСП Лекции.doc
#
27.03.20161.24 Mб150ТСП ПЗ.doc
#
27.03.20162 Mб157ТФКП и ОП.pdf
#
27.03.2016682.64 Кб255Тяговый расчет ГМ.pdf
#
06.09.2019430.08 Кб28уитс.doc
#
23.11.20181.17 Mб65УМК для менеджеров.doc
#
23.11.20191.15 Mб12УМК для экономистов.doc
#
15.09.20191.59 Mб13УМК Отечественная история (2010).doc