Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТФКП и ОП

.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

6 −1 = 6

cosπ +i sin π = cos π + 2kπ +i sin

π + 2kπ =

+i sin

3 +i

k = 0,

= cos

+i sin

= i

k =1,

5π

+i sin 5π

= cos

= −cos

+i sin

= −

k = 2,

7π

+i sin 7π

= cos

= −cos

−i sin

= −

−i

k = 3,

9π

+i sin 9π

= −i

k = 4,

= cos

11π

+i sin

11π = cos

−i sin

−i 1

k = 5.

= cos

Эти шесть значений изображаются радиусами правильного шестиугольника (см. рис. 8).

Рис. 7
Пример 11. Извлечь 5 −1.
5 −1 = 5 cosπ +i sin π = cos	π + 2kπ	+i sin	π + 2kπ	=
	5		5

cos	π +i sin π
	5	5
cos	3π		+i sin	3π			= −cos	2π			+i sin	2π
cos	5		+i sin	5			= −cos	5			+i sin	5
	5			5				5				5
cosπ +i sin π = −1
cos	7π		+i sin		7π		= −cos		2π		−i sin		2π
cos	5		+i sin	5			= −cos	5			−i sin	5
	5			5				5				5
cos	9π		+i sin	9π			= cos π		−i sin π
	5			5		5				5

k = 0,

k =1, k = 2,. k = 3,

k = 4

Пять значений корня изображаются радиусами правильного пятиугольника (см. рис. 9).

Рис. 8

Пример 12. Найти все значения корня 3 27i. Так как 27i = 27, arg 27i =π / 2, то

											π					π
3	3		π		π						2		+ 2kπ			2	+ 2kπ
	27i = 3	cos 2		+i sin 2									3		+i sin		3	=
	27i = 3	cos 2		+i sin 2		= 3 cos							3		+i sin		3	=


	cos π +i sin π = 3 3 +i 3														k = 0,
			6	6			2			2
			6	6			2	3		2				3
			5π	+i sin	5π		= −	3		3		+i		3	k =1,
	= 3 cos		6	+i sin	6		= −		2			+i		2	k =1,
			6		6				2					2
			9π	+i sin	9π		= −3i								k = 2.
	cos		6	+i sin	6		= −3i								k = 2.
			6		6

Пример 13. Используя показательную форму записи комплексного числа, найти все значения корня 5 − 3 +i.

Так как −

3 +i = 2e

πi+2πki , то

−

3 +i = 5

πi+2πki

= 5 2e 6 i+

πki .

Полагая k = 0,1,2,3,4, получим

π i

z1 =

+i sin

2 cos

;

π i+

2π

17π

+i sin

17π

−cos

13π

+i sin

13π

2e 6

2 cos

;

π i+

4π

29π

+i sin

29π

−cos

+i sin

2e 6

2 cos

;

π i+

6π

41π

+i sin

41π

−cos

11π

−i sin

11π

2e 6

2 cos

;

π i+

8π

53π

+i sin

53π

7π

−i sin

7π

2e 6

2 cos

cos

Как видно из приведенных примеров, все n значений n z

изображаются вершинами правильного

n - угольника, вписанно-

го в окружность с центром в начале координат радиуса n r . При этом, если число z совпадает с положительным действительным числом, то при четной степени n один из радиусов направлен в положительном направлении действительной оси, а другой – в отрицательном. Следовательно, корень четной степени из положительного числа имеет два действительных значения, а корень нечетной степени из действительного числа будет иметь только одно действительное значение, а остальные (n −1) значений бу-

дут комплексно сопряженными.

2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Предварительно введем важные для дальнейшего геомет-

рические понятия.

Областью на комплексной плоскости называется множество

Dточек, обладающее следующими свойствами:

•Множество D состоит из одних внутренних точек (свойство открытости);

•любые две точки, принадлежащие D , можно соединить непре-

рывной линией, целиком состоящей из точек D (свойство связности).

Точка z называется внутренней точкой области, если все точки достаточно малого круга с центром в точке z принадлежат области.

Граничной точкой области D называется такая точка, в любой окрестности которой содержатся как точки, принадлежащие D , так и не принадлежащие D .

Под окрестностью точки z0 понимается произвольная об-

ласть, содержащая эту точку. Обычно рассматриваются круговые окрестности точки z0 . При этом ε - окрестностью точки z0 на-

зывается открытый круг радиуса ε с центром в этой точке, то есть множество точек, удовлетворяющих неравенству z − z0 < ε.

Множество всех граничных точек области D называется границей этой области. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью и обозначается символом

В случае ограниченной области число не связанных друг с другом частей, из которых состоит граница области, называется порядком связности этой области. В частности, область, ограниченная одной непрерывной замкнутой линией, называется односвязной (рис. 9а). Область, ограниченная двумя не связанными друг с другом частями, называется двухсвязной (рис. 9б).

Положительным направлением обхода границы области

условимся считать такое направление, при котором область остается все время слева. На рис. 9 оно указано стрелками.

Рис. 9

Определение функции комплексной переменной аналогично определению функции действительной переменной.

Если каждому значению комплексной переменной z из множества M поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел w, то говорят, что определена функция комплексной переменной w = f (z). При этом, если каждому

значению переменной z соответствует только одно значение w, то функция w = f (z) называется однозначной, если несколько

различных значений w, то многозначной.

Например, функция w = z2 является однозначной, так как согласно формуле возведения комплексного числа в степень каждому значению z соответствует только одно значение w. Функции

же w =

соответствуют (при

z ≠ 0 и

z ≠ ∞) два комплексных

числа. Действительно, при

z = r(cosϕ +i sinϕ)

по формуле (1.9)

получим:

w1 =

+i sin

+π

r cos

+i sin

+π .

Множество M при этом называется множеством определения функции w = f (z), а совокупность N всех значений w, ко-

торые f (z) принимает на M , называется множеством еë изме-

нения.

Так как w - комплексная величина, то при каждом фиксированном значении z она может быть представлена в виде w = u(x, y) +iv(x, y). Поэтому задание функции комплексной

переменной равносильно заданию двух функций двух действительных переменных u(x, y) и v(x, y).

Примеры. Заданию каких двух действительных функций действительных переменных равносильно задание комплексных

функций: а) w = z3 ; б) w =		1	− z	, z ≠ −1 ?
	1		+ z

а) w = (x +iy)3 = x3 +3x2iy +3x(iy)2 + (iy)3 = x3 −3xy2 +i(3x2 y − y3 ).

Следовательно, u(x, y) = x3 −3xy2 ,

v(x, y) = 3x2 y − y3.

б) w =

1− z

1− x −iy

[(1− x) −iy][(1+ x) −iy]

1− x2

− y2 − 2iy

1+ z

1+ x +iy

[(1+ x)

+iy][(1+ x) −iy]

+ x)2 + y2

Следовательно, u(x, y) =

− x2

− y2

v(x,

y) = −

2 y

+ x)2 + y

+ x)2 + y2

2.1. Геометрическая интерпретация функции комплексной переменной

Условимся откладывать значения комплексного аргумента z на одной комплексной плоскости, а значения w - на другой. Тогда функцию комплексной переменной w = f (z) можно рас-

сматривать как некоторое отображение точек множества M плоскости z на множество точек N плоскости w. Если при этом функция w = f (z) однозначна на множестве M и различным точ-

кам M соответствуют различные точки N и наоборот, то такое отображение называется взаимно однозначным, а функция w = f (z) - однолистной на множестве M .

Пусть в плоскости z задана некоторая кривая l уравнением F(x, y) = 0 , и пусть задана функция w = f (z). При отображе-

нии, осуществляемом функцией w = f (z), кривая l отобразится в кривую L в плоскости w, уравнение которой будет ϕ(u, v) = 0. Кривая L при этом называется образом кривой l (см. рис. 10)

Рис. 10

27
Чтобы найти уравнение образа кривой	l , надо исключить x
и y из системы уравнений
u = u(x, y),
	(2.1)
v = v(x, y),	(2.1)

F(x, y) = 0.

Пример. На какую линию плоскости w отображается с по-

мощью функции w = 1z линия плоскости z , удовлетворяющая ус-

ловию Re z = Im z ?

w =

x −iy

u(x, y) =

v(x, y) = −

x +iy

x2 + y2

+ y2

Условие

Im z = Re z

приводит к равенству y = x. Поэтому полу-

чаем систему

u(x, y)

+ y

v(x, y)

= −

Следовательно,

u =

, v = −

x2 + y2

y = x.

Как видно, v = −u.

Таким образом, прямая y = x - биссектриса первого и третье-

го координатных углов в плоскости z отображается на прямую v = −u, то есть биссектрису второго и четвертого координатных углов в плоскости w.

Пример. Построить отображение области D (рис.11) на

плоскости x0 y на плоскость u0v с помощью функции w =										1 .
								1		z
1) Действительная и мнимая части функции w =								1	равны:
		x				y		z
u(x, y) =		x	,	v(x, y) = −		y	.
u(x, y) =	x2	+ y2	,	v(x, y) = −	x2	+ y2	.
	x2	+ y2			x2	+ y2

2) Находим образ отрезка KL, исключая x и y из системы уравнений:

u(x, y) = x2 +x y2 ,

v(x, y) = − x2 +y y2 ,

y = −x.

Рис. 11

u =	1			,

Очевидно,		2x		v = u - это урав-
v =	1		.

	2x

нение биссектрисы первого и третьего координатных углов в плоскости u0v . Так как координаты граничных точек отрезка KL : K (2;−2), L(4;−4), то подставляя их в уравнения, найдем ко-

ординаты этих точек в плоскости

3) Образ отрезка нений:

u(x, y)

v(x, y)

x = 2.

KN прямой

=x2 +x y2 ,

=− x2 +y y2 ,

		1		1			1		1
u0v :	K′		;		, L′			;		.
				4					8
	4					8

x = 2 находим из системы урав-

u = 4 +2y2 ,

v = − 4 +yy2 .

Возводя оба равенства в квадрат и складывая, получим

u2 + v2 =	4 + y2	=	1	= u	, u2	− u	+v2	= 0
	(4 + y2 )2		4 + y2
				2		2

или

u −

+ v

- это уравнение окружности радиуса

центром 0

в плоскости u0v .

Подставляя в систему уравнений координаты точки N (2;0),

находим координаты точки N′

в плоскости u0v .

Следовательно,

образом отрезка KN будет дуга окружности

′

K N .

4) Аналогично находим образ отрезка LM прямой x = 4

из

системы уравнений:

			x
u(x, y) =					,
u(x, y) =	x	2	+ y	2	,
	x		+ y
			y				u
			y
v(x, y) = −						,
v(x, y) = −		x2 + y2				,
		x2 + y2					v

x = 4.

При этом координаты точки

=			4		,
=	16		+ y2		,			1	2	2		1		2
	16		+ y2					1	2	2		1		2
				y			u −		+v		=		.
							u −		+v		=		.
= −						.		8				8
= −		16		+ y2		.
		16		+ y2
			1
M ′				;0 .
M ′				;0 .
		4

5) Находим образ отрезка MN прямой y = 0 :

u(x, y)

v(x, y)

y = 0.

=			x	,
=	x2		+ y2	,			1	> 0,
	x2		+ y2				1
			y			u =	x
= −					,			прямая y = 0 отобража-
= −		x2 + y2			,			прямая y = 0 отобража-
		x2 + y2
						v = 0,

ется на положительную полуось 0u в плоскости u0v .

В результате, область D на плоскости x0 y отобразится на область D′ на плоскости u0v вида (рис.12):

Рис. 12

Пример. Построить отображение области D (рис. 13) на плоскости x0 y на плоскость u0v с помощью функции w = z2 .

Рис. 13

1) Находим действительную и мнимую части функции w : w = z2 = (x +iy)2 = x2 − y2 + 2ixy, u(x, y) = x2 − y2 , v(x, y) = 2xy.

2) Находим образ отрезка KL, исключая x и y из уравнений:

			2	− y	2	,	u = 0,
u(x, y) = x				− y		,	u = 0,	≤ 0, следовательно, пря-
v(x, y) = 2xy,						Очевидно,	v = −2x2	≤ 0, следовательно, пря-

y = −x.
мая	y = −x			отображается на отрицательную часть мнимой оси в
плоскости u0v .
	Так как координаты граничных точек отрезка KL : K (−2;2),
L(−1;1), то,				подставляя их в уравнения, найдем координаты этих
	′	′		в плоскости u0v :			′	′
точек K , L				в плоскости u0v :			K (0;−8), L (0;−2).

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.201578.34 Кб38ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ.doc
#
27.03.2016280.2 Кб48Тренировочная работа форматирование в Excel.pdf
#
27.03.201696.26 Кб64тсп КПземляные работы.doc
#
27.03.201616.76 Mб1318ТСП Лекции.doc
#
27.03.20161.24 Mб150ТСП ПЗ.doc
#
27.03.20162 Mб157ТФКП и ОП.pdf
#
27.03.2016682.64 Кб255Тяговый расчет ГМ.pdf
#
06.09.2019430.08 Кб28уитс.doc
#
23.11.20181.17 Mб65УМК для менеджеров.doc
#
23.11.20191.15 Mб12УМК для экономистов.doc
#
15.09.20191.59 Mб13УМК Отечественная история (2010).doc