Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТФКП и ОП

.pdf

Скачиваний:

161

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

101

функция F(p) комплексного аргумента p, определяемая согласно

(5.1), называется изображением по Лапласу функции f(t) или просто изображением.

Символически соответствие между оригиналом и изображением записывается обычно так:

f (t) • =• F( p) или F( p) • =• f (t).

Совокупность всех оригиналов f(t) называется пространством оригиналов, а совокупность всех изображений F(p) – пространством изображений.

Можно показать, что справедлива следующая теорема существования изображения: для всякого оригинала f (t) инте-

грал Лапласа F( p) = ∞∫ f (t)e−pt dt абсолютно сходится в полуплос-

кости Re p >α (α - показатель роста функции f (t) ) и определяет изображение F( p) , которое является аналитической функцией в

этой полуплоскости.

Эффективность преобразования Лапласа обусловлена тем, что оно имеет характер отображения, а именно, оно позволяет заменить функции и производимые над ними операции в пространстве оригиналов более простыми функциями и операциями над ними в пространстве изображений.

При этом изображения, получаемые в результате преобразования Лапласа, представляют собой аналитические функции, к которым применимы мощные методы теории функций комплексной переменной.

Изображения простейших функций

1. Пусть оригинал имеет вид:
0	при	t < 0,	(5.2)
η(t) =	при	t > 0.
1

Эта функция широко применяется в приложениях и называется единичной функцией или функцией Хевисайда (рис. 33).

Очевидно, функция η(t) удовлетворяет всем условиям, налагаемым на оригиналы. Функция η(t) ограниченная, поэтому для неë показатель роста α = 0. Следовательно, изображение еди-

102

ничной функции будет существовать и будет аналитической функцией при всех p =σ +is , при которых Re p =σ > 0.

Рис. 33 Изображение этой функции найдем, вычисляя интеграл Ла-

пласа (5.1):

∞	1				∞		1

F( p) = ∫e−pt dt = −		e−p t				=		.

0	p				0		p

Учитывая, что всякий оригинал при t < 0						равен нулю, запишем
единичную функцию просто в виде η(t) =1. Тогда получаем
η(t) =1• =•			1	.		(5.3)

2. Изображение показательной функции. Пусть f (t) = ea t ,

тогда

∞	∞				1		∞
∞	∞						∞
F( p) = ∫eat e−p t dt = ∫e−( p−a)t dt = −						e−( p−a)t
F( p) = ∫eat e−p t dt = ∫e−( p−a)t dt = −				p − a		e−( p−a)t
0	0						0
0	0						0
Следовательно,			1
	eat	• =•	1		.
	eat	• =•	p −a		.
			p −a

= p 1− a .

(5.4)

Нахождение изображений непосредственно по формуле (5.1) обычно затруднительно. Во многих случаях изображения по Лапласу могут быть найдены значительно проще, если воспользоваться свойствами преобразования Лапласа.

5.2. Свойства преобразования Лапласа

Для практического применения преобразования Лапласа необходимо знать не только изображения отдельных функций, но и правила отображения выполняемых над ними операций. Эти правила формулируются в виде многочисленных теорем, объединяемых общим названием "свойства преобразования Лапласа". Каждая из этих теорем позволяет найти изображения тех или

103

иных функций – оригиналов. Рассмотрим некоторые основные из них.

			1. Теорема линейности. Если f (t)		•	=• F ( p) ,
				1	•	1
f	2	(t)	•	=• F ( p), то для любых постоянных α и β линейной ком-
	2		•	2

бинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, то есть

α f (t) + β f		(t)	•	=• α F ( p) + β F ( p) .		(5.5)
1	2		•	1	2

Это следует непосредственно из свойств определенных интегралов:

∞	∞	∞
∫[αf1 (t) + βf2 (t)]e−pt dt =α∫ f1 (t)e−pt dt + β∫ f2 (t)e−pt dt =
0	0	0

=αF1 ( p) + βF2 ( p).

Пример. Найти изображения функций cost и sin t. Согласно формулам (2.11)

cos t =	eit + e−it	,	sin t =	eit −e−it	.
	2			2i

Учитывая соотношение (5.4) и применяя теорему линейности, получим

cos t =

eit +

e−it

• =•

(5.6)

2 p −i

2 p +i

2 +1

Аналогично

sin t =

eit −

e−it

• =•

−

(5.7)

p −i

p +i

p2 +1

2. Теорема подобия.

Если

f (t) • =•

F( p) , то

f (a t)

• =

•

(5.8)

то есть умножение аргумента оригинала на некоторое положительное число a приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число (к подобному изменению изображения).

Действительно, рассмотрим ∞∫ f (at)e−pt dt. Положим at = u. Тогда

t = u / a, dt = du / a. Пределы интегрирования при такой замене

104

переменной не меняются. Поэтому

∞

−pt

∞

−

∫ f (at)e

∫ f (u)e

Пример. Найти

изображения

функций

cos ωt и

sin ωt .

Учитывая изображения (5.6) и (5.7)

и применяя

теорему

подо-

бия, получим

cos ωt • =

•

(5.9)

p 2

+ω2

Аналогично

sin ωt

=•

(5.10)

•

ω p 2

+ω2

3. Теорема смещения изображения. Если

f (t) • =• F( p) , то

для любого числа a (действительного или комплексного)

eat f (t) • =• F( p − a),

(5.11)

то есть умножение оригинала на eat приводит к смещению аргумента изображения на a.

Действительно, по определению преобразования Лапласа изображение функции eat f (t) будет

∞	∞
∫eat f (t)e−pt dt =∫ f (t)e−( p−a)t dt =F( p − a).
0	0

Пример. Найти изображения функций e−a t cosωt и e−a t sin ωt .

Учитывая формулы (5.9) и (5.10) и применяя теорему смещения изображения, находим

e−at cosωt • =•		p + a			.	(5.12)
e−at cosωt • =•		( p + a)2 +ω	2		.	(5.12)
Аналогично		( p + a)2 +ω	2
Аналогично		ω
e−at sin ωt • =•		ω		.		(5.13)

	( p + a)2 +ω2
	( p + a)2 +ω2

105
4. Теорема запаздывания. Если f (t) • =• F( p) ,	то для лю-
бого постоянного τ > 0
f (t −τ) • =• e− pτ F( p) ,	(5.14)

то есть "включение" оригинала с запаздыванием на время τ рав-

носильно умножению изображения на e− pτ .
Для доказательства теоремы учтем,			что при t <τ	аргумент
t −τ < 0, поэтому		функция f (t −τ) = 0.	Тогда можно записать
f (t −τ) •=•	∞∫ f (t −τ)e−pt dt =∞∫ f (t −τ)e−pt dt ,		так как на	интервале
	0	τ

(0,τ) подынтегральная функция равна нулю. Выполняя замену

переменной:	t −τ = t1,	dt = dt1 и учитывая, что при этом
нижний предел интегрирования будет равен нулю, получим
∞∫ f (t −τ)e−pt dt = ∞∫ f (t1 )e−p(t1+τ )dt1 =e−pτ ∞∫ f (t1 )e−pt1 dt1 =e−pτ F( p).
τ	0	0
Следовательно, f (t −τ) • =•		e− pτ F ( p) .

График функции с запаздывающим аргументом f (t −τ) получается смещением графика функции f (t) вправо на расстояние τ

(см. рис. 34)

Рис. 34

Эта теорема позволяет находить изображения многих импульсных функций. Например, пусть требуется найти изображение единичного прямоугольного импульса

0	при	t < 0,
	при	0 < t <τ,	(5.15)
f (t) = 1
	при	t >τ.
0,

График этой функции можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции (5.2), рис. 35а) и единичной функции, сдвинутой на τ ( рис. 35б):

106

Рис. 35

Изображение единичной функции определяется равенством (5.3), а изображение функции η(t −τ) по теореме запаздывания

будет 1p e−pτ . Применяя теорему линейности изображения, полу-

чим

f (t) •=• 1p − 1p e−pτ = 1p (1−e−pτ ).

Пример. Найти изображение функции f(at - b), если

f (t) • =• F( p) . Применяя теоремы подобия и запаздывания, нахо-

дим

f (at −b) • =• 1a F ap e(− p / a)b = 1a e(−b / a) p F ap .

В частности,

cos(ωt −α) • =• sin(ωt −α) • =•

p	e	−a		p

			ω ,
p2 +ω2

ω	e−α			p
			ω		.
p2 +ω2

(5.16)

(5.17)

5. Теорема дифференцирования оригинала.	Если
f (t) • =• F ( p) , то
f ′(t) • =• pF( p) − f (+0) ,	(5.18)

то есть дифференцирование оригинала сводится к умножению

его изображения на p и вычитанию начального значения функции.

В (5.16) f (+0) = lim f (t) - правосторонний предел функции f(t).

t→+0

107

Действительно, преобразование Лапласа для производной

f ′(t) запишется в виде

f ′(t) • =•

∞∫ f ′(t)e−pt dt.

′

Полагая u = e

− pt

, dv = f

du = −pe

− pt

dt ,

v = f (t) и при-

(t)dt,

меняя формулу интегрирования по частям, находим

∞∫ f ′(t)e−pt dt = f (t)e−pt

0∞ + p∞∫ f (t)e−pt dt.

Так как функция f (t) при t = 0 может иметь разрыв первого

рода и учитывая третье условие роста оригинала (

f (t)

< M eα t ),

получим:

lim[ f (t)e− pt ] = 0, а lim[ f (t)e− pt ] = f (+0). Поэтому окон-

t→−0

t→+0

чательно:

f ′(t) • =• pF( p) − f (+0) .

Если же функция f (t) непрерывна в точке t = 0, то

lim f (t) = lim f (t) = f (0) = 0, тогда f ′(t) • =•

pF( p).

t→+0

t→−0

′

как оригинал, которому

соответствует

Рассматривая f (t)

изображение, определяемое по формуле (5.18), и применяя теорему дифференцирования повторно, получим изображение второй производной функции f(t):

f ′′(t) • =• p[ pF ( p) − f (+0)] − f ′(+0) = p2 F( p) − pf (+0) − f ′(+0),

(5.19)

…………………………………………………………………….

Продолжая этот процесс, найдем изображение n-ой производной:

(n)

(t) • =

•

F( p) − p

n−1

f (+0) − p

n−2

′

(n−2)

(+0)

− f

(n−1)

(+0).

f (+0) −...pf

(5.20)

В частности, если все начальные значения функции и её

производных равны нулю, то

f (n) (t) • =•

pn F( p).

(5.21)

Для практических приложений эта теорема является самой важной. Из неё следует, что дифференцирование в пространстве оригиналов заменяется существенно более простой операцией - умножением изображения на степень аргумента (с одновременным добавлением многочлена, коэффициентами которого являются начальные условия оригинала). Эта теорема лежит в основе операционного метода решения дифференциальных уравнений.

108

6. Теорема дифференцирования изображения. Если

f (t) • =• F ( p) , то

−tf (t) • =• F′( p),

то есть умножение оригинала на (−t) сводится к дифференциро-

ванию его изображения.

Действительно, как отмечалось, изображение является в области Re p >α аналитической функцией, поэтому обладает про-

изводными всех порядков. Дифференцируя интеграл в равенстве (5.1) по параметру p под знаком интеграла, получим


	d	F( p) =	d	∞∫ f (t)e−pt dt =∞∫			d	[e−pt		f (t)]dt =∞∫[−tf (t)e−pt ]dt •=• −tf (t).
	dp	F( p) =		∞∫ f (t)e−pt dt =∞∫				[e−pt		f (t)]dt =∞∫[−tf (t)e−pt ]dt •=• −tf (t).
	dp		dp 0			0	dp			0
Применяя теорему повторно, находим
					t	2	f (t) • =		•	′′
					t		f (t) • =			F ( p),

……………………

(−1)n tn f (t) • =• F (n) ( p).

Теорема дифференцирования изображения противоречит идее операционного исчисления, так как операция умножения оригинала на −t заменяется в пространстве изображений более сложной операцией дифференцирования, но она позволяет найти изображения очень распространенных степенных функций. Учи-

тывая, что 1• =• 1/ p и применяя последовательно теорему дифференцирования изображения, найдем:

t • =•

• =•

tn • =•

(5.22)

pn+1

7. Теорема интегрирования оригинала. Если

f (t) • =• F ( p),

то

∫τ

f (t)dt • =•

F( p),

(5.23)

то есть интегрированию оригинала соответствует деление его изображения на p.

Соответствие между некоторыми наиболее распространенными оригиналами и их изображениями указано в Приложении 1.

Примеры нахождения изображений сложных функций

1. f1 (t) = t sht .

109

Так как

sh t • =• p21−1,

то применяя теорему дифференцирования изображения, найдём

−t sh t • =	•	d	1	=	−	2 p	.

			p2 −1		( p2 −1)2
		dp	p2 −1		( p2 −1)2

Следовательно,

t sh t • =• ( p22−p1)2 .

2.f2 (t) = t5 sh t.

Применять теорему дифференцирования пять раз, конечно, неудобно. Представим f2 (t) в виде

	t5 sh t = t5			et −e−t		=	1 t5 et	− 1 t5		e−t .

Так как t5	•=• 5!/ p6 ,				2		2	2
			то по теореме смещения изображения
	et t5 • =•		5!		,		e−t t5 • =•			5!	.
		( p −1)6							( p +1)6

Теперь по теореме линейности находим

−t

• 1

(t) =

−

• =

−

= 60

−

( p −1)

( p +1)

( p −

3. f3 (t) = e−2t t cos3t.
Представим f3 (t) в виде	f3 (t) = tϕ(t). Для функции
ϕ(t) = e−2t cos3t изображение известно:
e−2t cos3t •	=•	p + 2	.
e−2t cos3t •	=•	( p + 2)2 +9	.
		( p + 2)2 +9

По теореме дифференцирования изображения −t ϕ(t) • =• Следовательно,

1
			.
( p +	1)	6	.
( p +	1)

F′( p).

t e

−2t

cos3t • =

•

−

p + 2

( p + 2)2 −9

2 .

+ 2)

dp ( p

[( p + 2)2 +9]

f4 (t) = e−3t (0,5 + cos2 2t).

Так как

cos2 2t =

1 + cos 4t

, то

110

f4 (t) =e−3t +

e−3t cos 4t

• =•

p +3

2[( p +3)2 +16]

f5 (t) = 2cos 4t cos 2t.

Так как

cosα cos β = 0,5[cos(α − β) +cos(α + β)],

то

2cos 4t cos 2t = cos 2t + cos6t.

Учитывая, что cosωt • =•

по теоремам подобия и ли-

p2 +ω2

нейности получим

2 p( p2 +

20)

f5 (t) = cos 2t + cos 6t • =

•

p2 + 4

p2 +36

( p2

+ 4)( p2

+36)

Замечания.

1. Грубой ошибкой будет представление изображения произведения функций-оригиналов в виде произведения изображений, соответствующих каждому из сомножителей, так как умножению оригиналов соответствует другая операция в пространстве изображений [6].

2. Решение приведенных задач возможно различными способами. В пособии указан лишь один из возможных способов решения.

5.3. Обратное преобразование Лапласа

При практическом применении преобразования Лапласа всегда приходится решать обратную задачу - построение оригинала по его изображению. Общий метод построения оригинала f(t) по заданному изображению F(p) базируется на теореме об-

ращения ( формуле Меллина23 ):

	1	γ +i∞
f (t) =		∫F( p)e pt dp,	γ >α, t > 0, (5.24)
	2π i
		γ −i∞

где интегрирование проводится по любой бесконечной прямой Re p = γ, лежащей в полуплоскости абсолютной сходимости ин-

теграла Лапласа (см. рис. 36).

Непосредственно формулой (5.24) для нахождения оригинала по известному изображению пользуются редко. Но так как в ней рассматривается интеграл от аналитической функции, взятый

23 Меллин Р.Х. (1854 – 1933) – финский математик.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.201578.34 Кб39ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ.doc
#
27.03.2016280.2 Кб50Тренировочная работа форматирование в Excel.pdf
#
27.03.201696.26 Кб65тсп КПземляные работы.doc
#
27.03.201616.76 Mб1323ТСП Лекции.doc
#
27.03.20161.24 Mб150ТСП ПЗ.doc
#
27.03.20162 Mб161ТФКП и ОП.pdf
#
27.03.2016682.64 Кб257Тяговый расчет ГМ.pdf
#
06.09.2019430.08 Кб28уитс.doc
#
23.11.20181.17 Mб65УМК для менеджеров.doc
#
23.11.20191.15 Mб13УМК для экономистов.doc
#
15.09.20191.59 Mб13УМК Отечественная история (2010).doc