ТФКП и ОП

172

12.С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для

линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами y′′+ 5y = cos 2t, y(0)=1, y′(0)= 0 (t ≥ 0).

Вариант № 19

1.Записать комплексное число a = –4 + 4i в тригонометрической и показательной формах и показать его положение на комплексной плоскости x0y с указанием модуля и аргумента.

2.Выполнить указанные действия с двумя комплексными чис-

лами a = –4 + 4i и b = –2 + i: a + b, a – b, a b, a/b, a4, 3 a .

3. Вычислить функцию w = 4z chz при z = –2 + i и показать числа

z и w на комплексных плоскостях x0y и u0υ.

4.Построить отображение области D на плоско-

сти x0y на плоскость u0υ с помощью функции комплексной переменной w = z2.

5.Вычислить предел

8.Вычислить определённый интеграл функции комплексной переменной

9. Вычислить интеграл функции комплексной переменной по замкнутому контуру С, применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

∫ zdz , C : z = 3.

С (z − 2i)(z + 2)

10. Найти изображение F(p) по Лапласу функции действительной переменной f(t) = 2sin3t cos2t.

173

11. Найти оригинал f(t) по его изображению по Лапласу

F (p)= (p −1)(p2p− 3p − 28).

12.С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для

линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами y′+ 5y = t, y(0)=1 (t ≥ 0).

Вариант № 20

1.Записать комплексное число a = –4 – 4i в тригонометрической и показательной формах и показать его положение на комплексной плоскости x0y с указанием модуля и аргумента.

2.Выполнить указанные действия с двумя комплексными чис-

1−3i

∫z ln z dz .

−2

9.Вычислить интеграл функции комплексной переменной по замкнутому контуру С, применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

174

10.Найти изображение F(p) по Лапласу функции действительной переменной f(t) = 4cos4t sin3t.

11.Найти оригинал f(t) по его изображению по Лапласу

12.С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными ко-

Вариант № 21

1.Записать комплексное число a = 3 + 3 i в тригонометрической и показательной формах и показать его положение на комплексной плоскости x0y с указанием модуля и аргумента.

2.Выполнить указанные действия с двумя комплексными чис-

лами a = 3 + 3 i и b = –1 + 2i: a + b, a – b, a b, a/b, a4, 3 a .

3.Вычислить функцию w = z − 3shz при z = –1 + 2i и показать числа z и w на комплексных плоскостях x0y и u0υ.

4.Построить отображение области D на плос-

кости x0y на плоскость u0υ с помощью функции комплексной переменной w = ez.

5.Вычислить предел

lim thz .

z→0 z

6.Найти все нули и особые точки функции комплексной переменной и указать их тип

w= (z +1)2z(z + 4).

7.Проверить функцию комплексной переменной w =1 + 2chz2 на аналитичность и найти её производную.

8.Вычислить определённый интеграл функции комплексной переменной

175

9.Вычислить интеграл функции комплексной переменной по замкнутому контуру С, применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

∫ e2 zdz − =

С (z −1)2 , C : z 1 2 .

10.Найти изображение F(p) по Лапласу функции действительной переменной f(t) = 3ch3t ch2t.

11.Найти оригинал f(t) по его изображению по Лапласу

12.С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для

линейного дифференциального уравнения с постоянными ко- 6 y )=1, y′(0)=1 (t ≥ 0).y′′+эффициентами = sint, y(0

Вариант № 22

1.Записать комплексное число a = 3 – 3 i в тригонометрической и показательной формах и показать его положение на комплексной плоскости x0y с указанием модуля и аргумента.

2.Выполнить указанные действия с двумя комплексными чис-

лами a = 3 – 3 i и b = –1 + i: a + b, a – b, a b, a/b, a4, 3 a .

3.Вычислить функцию w = 2z + 4chz при z = –1 + i и показать числа z и w на комплексных плоскостях x0y и u0υ.

4.Построить отображение области D на плос-

кости x0y на плоскость u0υ с помощью функции комплексной переменной w = ez.

5.Вычислить предел

lim z ln z .

z→0

6.Найти все нули и особые точки функции комплексной переменной и указать их тип

w = (z + i)(z2z + 3).

176

7.Проверить функцию комплексной переменной w = 2 − 3shz2 на аналитичность и найти её производную.

8.Вычислить определённый интеграл функции комплексной пе-

ременной

2i

∫cos z sin2 2z dz .

0

9.Вычислить интеграл функции комплексной переменной по замкнутому контуру С, применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

∫1 + z dz, C : 2z −πi = 4 .

С sh2z

10. Найти изображение F(p) по Лапласу функции действительной переменной f(t) = 3sin2t sin5t.

11. Найти оригинал f(t) по его изображению по Лапласу

12.С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для

линейного дифференциального уравнения с постоянными ко- 4 y )=1 (t ≥ 0).y′+эффициентами = 2sht, y(0

Вариант № 23

1.Записать комплексное число a = –3 + 3 i в тригонометрической и показательной формах и показать его положение на комплексной плоскости x0y с указанием модуля и аргумента.

2.Выполнить указанные действия с двумя комплексными чис-

лами a = –3 + 3 i и b = –2 + 2i: a + b, a – b, a b, a/b, a4, 3 a .

3. Вычислить функцию w = z ln z при z = –2 + 2i и показать числа

z и w на комплексных плоскостях x0y и u0υ.

4.Построить отображение области D на плос-

кости x0y на плоскость u0υ с помощью функции комплексной переменной w = ez.

5.Вычислить предел

lim(1 + sin z)1z .

z→0

6.Найти все нули и особые точки функции комплексной переменной и указать их тип

177

= thz

w (z −i)2 .

7. Проверить функцию комплексной переменной w = 3ez +sin z на аналитичность и найти её производную.

8.Вычислить определённый интеграл функции комплексной переменной

3∫i zdz

−i (z +1)2 .

9. Вычислить интеграл функции комплексной переменной по замкнутому контуру С, применяя интегральную формулу Коши и

теорему Коши о вычетах

10.Найти изображение F(p) по Лапласу функции действительной переменной f(t) = t5ch3t.

11.Найти оригинал f(t) по его изображению по Лапласу

F (p)= ( 2 −p −)(3 + ).

p 4 p 1

12. С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными ко-

Вариант № 24

1.Записать комплексное число a = –3 – 3 i в тригонометрической и показательной формах и показать его положение на комплексной плоскости x0y с указанием модуля и аргумента.

2.Выполнить указанные действия с двумя комплексными чис-

лами a = –3 – 3 i и b = –3 + 2i: a + b, a – b, a b, a/b, a4, 3 a .

3.Вычислить функцию w = 2z + ln z при z = –3 + 2i и показать числа z и w на комплексных плоскостях x0y и u0υ.

4.Построить отображение области D на плос-

кости x0y на плоскость u0υ с помощью функции комплексной переменной w = ez.

5.Вычислить предел

178

ln(cos z) lim z2 .

z→0

6.Найти все нули и особые точки функции комплексной переменной и указать их тип

w = (z − 2i)(z z + 2).

7.Проверить функцию комплексной переменной w = 2ez − cos 2z на аналитичность и найти её производную.

8.Вычислить определённый интеграл функции комплексной пе-

ременной

2i

∫sin5 z dz .

π2

9.Вычислить интеграл функции комплексной переменной по замкнутому контуру С, применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

10. Найти изображение F(p) по Лапласу функции действительной переменной f(t) = 2t5ch3t ch2t.

11. Найти оригинал f(t) по его изображению по Лапласу

12.С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для

линейного дифференциального уравнения с постоянными ко- y′′+ 4 y′ = )= 0, y′(0)=1 (t ≥ 0).эффициентами t, y(0

Вариант № 25

1.Записать комплексное число a = 2 + 2i в тригонометрической и показательной формах и показать его положение на комплексной плоскости x0y с указанием модуля и аргумента.

2.Выполнить указанные действия с двумя комплексными чис-

лами a = 2 + 2i и b = –2 – 3i: a + b, a – b, a b, a/b, a4, 3 a .

3.Вычислить функцию w = 3ln(2z − 4) при z = –2 – 3i и показать числа z и w на комплексных плоскостях x0y и u0υ.

179

4.Построить отображение области D на плоскости x0y на плос-

кость u0υ с помощью функции комплексной переменной w = ez.

5.Вычислить предел

lim1 − e−z . z→0 sin z

6.Найти все нули и особые точки функции комплексной переменной и указать их тип

w = (z +π )2 .

7.Проверить функцию комплексной переменной w = ez − 3chz на аналитичность и найти её производную.

8.Вычислить определённый интеграл функции комплексной переменной

2+∫2i dz .

e z ln z

9. Вычислить интеграл функции комплексной переменной по замкнутому контуру С, применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

10. Найти изображение F(p) по Лапласу функции действительной переменной f(t) = etsint sin3t.

11. Найти оригинал f(t) по его изображению по Лапласу

F (p)= (p −1)(pp22++14 p −1).

12.С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для

линейного дифференциального уравнения с постоянными ко- y′′′+ 4 y′′ = sin t, y )=1, y′(0)= 0 (t ≥ 0).эффициентами (0

Вариант № 26

1.Записать комплексное число a = 2 – 2i в тригонометрической и показательной формах и показать его положение на комплексной плоскости x0y с указанием модуля и аргумента.

180

2.Выполнить указанные действия с двумя комплексными чис-

лами a = 2 – 2i и b = –1 – 3i: a + b, a – b, a b, a/b, a4, 3 a .

3. Вычислить функцию w = z + 3ez2 при z = –1 – 3i и показать числа z и w на комплексных плоскостях x0y и u0υ.

4.Построить отображение области D на плоско-

сти x0y на плоскость u0υ с помощью функции комплексной переменной w = ez.

5.Вычислить предел

z2 −5iz lim z2 25 .

z→5i +

6. Найти все нули и особые точки функции комплексной переменной и указать их тип

7.Проверить функцию комплексной переменной w = ez + 2sh2z на аналитичность и найти её производную.

8.Вычислить определённый интеграл функции комплексной переменной

πi

∫z(2 ln z +1)dz .

1

9.Вычислить интеграл функции комплексной переменной по замкнутому контуру С, применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

∫ z2dz =

С (z + i)3 , C : z 2 .

10.Найти изображение F(p) по Лапласу функции действительной переменной f(t) = etsin3t cos2t.

11.Найти оригинал f(t) по его изображению по Лапласу

12.С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для

линейного дифференциального уравнения с постоянными ко- 6 y = cost, )=1 (t ≥ 0).y′+ yэффициентами (0