Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТФКП и ОП

.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

∫ f (z)dz = ∫[u(x, y) +iv(x, y)](dx +idy) =

C C

(3.1)

= ∫[u(x, y)dx −v(x, y)dy] +i∫[u(x, y)dy +v(x, y)dx].

C C

Таким образом, вычисление определенного (контурного)

интеграла от функции комплексной переменной сводится к вычислению двух криволинейных интегралов от двух действительных функций действительных переменных.

Поэтому определенный интеграл от функции комплексной переменной обладает всеми свойствами таких интегралов. Напомним некоторые из них, которые будут использоваться в дальнейшем:

1. ∫αf (z)dz =α∫ f (z)dz, где α = const, то есть постоянный мно-

C C

житель можно выносить за знак определенного интеграла.

2. ∫[ f1 (z) ± f2 (z)]dz = ∫ f1 (z)dz ±∫ f2 (z)dz, то есть определенный

C C C

интеграл от суммы или разности функций равен соответственно сумме или разности интегралов, взятых от этих функций.

3.При перемене направления интегрирования величина интеграла меняет знак на противоположный:

zn	z0
∫ f (z)dz = −∫ f (z)dz .
z0	zn

4.Если кривую C разбить на части C1,C2 ,...,Cn , то интеграл, взятый вдоль кривой C, равен сумме интегралов, взятых вдоль еë частей:

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz +... + ∫ f (z)dz .

C C1 Cn

5. ∫ f (z)dz ≤ ML, где L – длина кривой C, а M – наибольшее зна-

чение модуля подынтегральной функции на кривой C, то есть f (z) ≤ M . Это свойство называют теоремой об оценке модуля

интеграла.

Вычисление контурных интегралов от функции комплексной переменной может быть произведено или как криволинейных

непосредственно по формуле (3.1) или путем сведения их к определенным интегралам от комплексной функции действительной переменной.

Пример. Вычислить интеграл ∫z 2dz :

а) по прямолинейному отрезку, соединяющему начало координат с точкой z = 2 +i;

б) по ломаной, соединяющей точки z = 0, z = 2 и z = 2 +i .

		Рис. 21
а) вычисление интеграла по отрезку (рис. 21а).
1-ый способ.		Так как	f (z) = z 2 = (x −iy)2 = x2 − y2 −i 2xy,
то u(x, y) = x2 − y2 ,		v(x, y) = −2xy, поэтому согласно (3.1)
∫z 2dz = ∫[(x2 − y2 )dx + 2xydy] +i∫[(x2 − y2 )dy − 2xydx].
C	C		C
В общем случае для вычисления криволинейных интегралов
надо перейти к уравнениям кривой C, заданным в параметриче-
ской форме,	то есть задать		x = x(t), y = y(t). В данном случае

достаточно принять за параметр просто x. Так как уравнение прямой OA, проходящей через начало координат и точку z = 2 +i ,

имеет вид y =

, то dy =

1 dx

∫

dz =

∫

2 −

dx + 2x

= ∫2 5x2 dx −i∫2 5 x2dx =

− 5 i.

2-ой способ. Так как z =

и при 0 ≤ x ≤ 2

1	dx		2			x	2	1		x	dx =
		+i	∫	x2	−				dx − 2x


					4			2	2
2			0

x −iy, и вдоль прямой OA y = x/2,

то z = x −i 2x = 22−i x, z2 = (x −iy)2 = 3 −44i x2 , а dz = 22+i dx.

Поэтому интеграл примет вид


∫z 2dz = ∫2			3 − 4i	x2	2 +i	dx =			3 − 4i						2 +i		∫2 x2dx =
∫z 2dz = ∫2				x2		dx =											∫2 x2dx =
C	0	4			2					4						2	0
	=	(3 − 4i)(2 +i) x3					2	=		10		−	5			i.
		(3 − 4i)(2 +i) x3					2			10			5
		8				3	0				3			3

2) вычисление интеграла по ломаной (рис. 21б).

По свойству 4) криволинейных интегралов

∫z 2dz = ∫z 2dz + ∫z 2dz .

OBA

Вдоль OB y = 0,

dy = 0. Поэтому

∫z 2dz = ∫[(x2 − y2 )dx + 2xydy] +i ∫[(x2 − y2 )dy − 2xydx] = ∫2

x2dx =

8 .

Для линии BA x = 2,

dx = 0. Следовательно,

∫z 2dz = ∫1

4 ydy +i∫1

(4 − y2 )dy = 2 +

В результате ∫z 2dz = ∫z 2dz + ∫z 2dz = 8 + 2 +

11i =

+11i.

OBA

Как видно, величина интеграла зависит от пути интегрирования.

Пример. Вычислить интеграл

∫Im zdz, если путь интегри-

рования C – ломаная с вершинами в точках 0, i, 2+i.

По свойству 4) ∫Im zdz = ∫Im zdz + ∫Im zdz

(см. рис. 22).

Рис. 22

Применим формулу (3.1). Так как

Im z = y, подынтеграль-

ная функция f (z) = Imz = u +iv = y,

u = y, v = 0.

Вдоль C1

x = 0,

dx = 0, поэтому

∫ f (z)dz = ∫(udx −vdy) +i ∫(udy + vdx) = i∫1

ydy = i

Вдоль C2

y =1,

dy = 0

∫ f (z)dz = ∫(udx −vdy) +i ∫(udy + vdx) =∫2

ydx = 2.

Следовательно,

∫Im zdz = 2 +

∫(z − 2z)dz по кривым:

Пример.

Вычислить интеграл

а) C - отрезок прямой от точки z0

= 0 до точки zn

=1−i;

б) C – дуга окружности

= 4,

−

≤ arg z ≤ π .

а) 1-ый способ: Как и выше, принимаем за параметр просто

x. Тогда уравнение прямой, соединяющей точки 0 и 1−i,

будет

y = −x (0 ≤ x ≤1) , и, следовательно,

dy = −dx.

Учитывая, что z − 2z = x +iy − 2(x −iy) = −x +3iy, и применяя формулу (3.1), получим

∫(z −2z)dz =∫(−x +3iy)(dx +idy) = ∫(−xdx −3ydy) +i∫(3ydx − xdy) =

C			C			C	C
= ∫1	[−xdx −3(−x)(−dx)] +i∫1				[3(−x)dx − x(−dx)] = −4∫1		xdx − 2i∫1	xdx =
0			0			0	0
= −2x2		1	−ix2	1 = −2 −i.
= −2x2		1	−ix2	1 = −2 −i.
		0		0
		0		0
	2-ой способ: Так как					z −2z = −x +3iy, а вдоль отрезка пря-
мой y = −x и dz = dx +idy = dx +i(−dx) = (1−i)dx,							то криволиней-

ный интеграл сводится к определенному интегралу от комплексной функции действительного аргумента:

∫(z − 2z)dz = ∫1		(−x +3iy)(1−i)dx = −(1−i)(1+3i)∫1	xdx =
C	0	0

= −(1−i)(1+3i)

(1−i)(1+3i)

= −2 −i.

= −

б) Запишем уравнение окружности

= 4 в параметрической

форме, полагая x = 4 cosϕ,

y = 4sinϕ, где −

≤ϕ ≤

π . Тогда

dx = −4sinϕdϕ, dy = 4 cosϕdϕ. Следовательно,

π / 2

∫(z − 2z)dz =∫(−xdx −3ydy) +i∫(3ydx − xdy) =

∫

[−4 cosϕ(−4sinϕdϕ) −

−π / 2

π/ 2

−3 4sinϕ 4 cosϕdϕ] +i ∫[3 4sinϕ(−4sinϕdϕ) − 4 cosϕ 4 cosϕdϕ] =

−π / 2

π / 2	π / 2
= −32 ∫cosϕsinϕdϕ −16i	∫(cos2 ϕ +3sin2 ϕ)dϕ =8cos 2ϕ	π−π/ 2/ 2 −


−π / 2	−π / 2

−8i(4ϕ −sin 2ϕ) π−π/ 2/ 2 = −32πi.

3.2.Интегралы от аналитических функций. Теорема Коши

Вобщем случае контурный интеграл ∫ f (z)dz зависит как от

подынтегральной функции, так и от формы кривой C. Поэтому, если точки z0 и zn соединены двумя различными линиями, при-

надлежащими односвязной области, то интегралы, взятые по этим линиям, будут иметь разные значения.

Но оказывается, что интегралы от аналитической функции обладают замечательным свойством, присущим не всем криволинейным интегралам от дифференцируемых функций действительной переменной. Это свойство устанавливается теоремой Коши.

Теорема Коши для односвязной области: Если функция f (z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой

функции вдоль любого замкнутого контура C, лежащего в D, равен нулю:

∫ f (z)dz = 0.

(3.2)

Докажем эту теорему при дополнительном упрощающем предположении о том, что производная f ′(z) непрерывна на кон-

туре C и в ограниченной им односвязной области (в определении аналитической функции требуется лишь существование этой производной).

Докажем сначала, что величина интеграла не зависит от вида контура, а определяется лишь начальной и конечной точками

пути интегрирования, то есть интеграл ∫ f (z)dz для всех кривых,

лежащих в области D c общими концами, имеет одно и то же значение.

Как было показано, для функции f (z) = u(x, y) +iv(x, y) справедлива формула (3.1):

∫ f (z)dz = ∫u(x, y)dx −v(x, y)dy +i∫u(x, y)dy + v(x, y)dx.

C C C

Из теории криволинейных интегралов от функций действительной переменной известно, что в односвязной области для не-

зависимости криволинейного интеграла вида ∫Pdx +Qdy от пути

интегрирования (P и Q – функции, обладающие непрерывными частными производными) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

∂P	=	∂Q	.	(3.3)
∂y
		∂x

Применим это условие к криволинейным интегралам, стоящим в правой части формулы (3.1). Для первого интеграла функции P перед дифференциалом dx соответствует функция u(x, y),

функции Q перед dy соответствует функция −v(x, y). Поэтому условие (3.3) примет вид

∂u = − ∂v .		(3.4)
∂y	∂x
Аналогично, для второго интеграла в (3.1)		равенство (3.3)
запишется в виде
∂v	= ∂u .	(3.5)
∂y	∂x

Но условия (3.4), (3.5) для функции f (z) = u +iv , являющей-

ся аналитической, совпадают с условиями Коши – Римана. Следовательно, они выполняются, а непрерывность частных производных следует из принятого предположения о непрерывности f ′(z) . Поэтому криволинейные интегралы в (3.1) не зависят от

пути интегрирования.

Это значит, что интеграл от аналитической функции, взятый по любой дуге в односвязной области, зависит только от начальной и конечной точек этой дуги, и потому одинаков для всех кривых, имеющих общую начальную z0 и конечную zn точки.

Поэтому интеграл в односвязной области от аналитической функции по замкнутому контуру будет равен нулю. Действительно, если представить произвольный замкнутый контур C состоящим из двух кривых C1 и C2 с общими началом z0 и концом

zn (см. рис. 23), то

Рис. 23

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz =∫ f (z)dz −∫ f (z)dz = 0.

C		C1		C1	C2
			C2
Здесь		- кривая, обходимая в направлении от zn к z0 .
	C2

Из теоремы Коши следует, что интеграл от аналитической функции может быть вычислен по формуле, аналогичной формуле Ньютона – Лейбница в интегральном исчислении:

∫ f (z)dz =Ф(z) zn =Ф(zn ) −Ф(z0 ), (3.6)

	z0	′
где	Ф(z) - первообразная для функции
		f (z), то есть Ф (z) = f (z).

Пример. Вычислить интеграл ∫z2dz :

1) по прямолинейному отрезку, соединяющему начало координат с точкой z = 2 +i;

2) по ломаной, соединяющей точки z = 0, z = 2 и

1) вычисление интеграла по отрезку.

Так как f (z) = z2 = (x +iy)2 = x2 − y2 +i 2xy, то v(x, y) = 2xy, поэтому согласно (3.1)

z = 2 +i.

u(x, y) = x2 − y2 ,

∫z2dz = ∫[(x2 − y2 )dx − 2xydy] +i∫[(x2 − y2 )dy + 2xydx].

Так как уравнение прямой, проходящей через начало коор-

динат и точку

z = 2 +i ,

имеет вид

y =

то

dy =

1 dx ,

и при

0 ≤ x ≤ 2

имеем

dz = x2 − x

dx −2x x 1 dx +i

x2 − x

1 dx + 2x

x dx =

∫

2 2

4 2

= ∫2

dx +i∫2 11 x2dx =

2 +

11i.

2) вычисление интеграла по ломаной (см. рис. 21б):

∫z2dz = ∫z2dz + ∫z2dz . Вдоль OB y = 0, dy = 0. Поэтому

OBA

∫z2dz = ∫[(x2 − y2 )dx −2xydy] +i ∫[(x2 − y2 )dy + 2xydx] = ∫2

2dx =

8 .

Для линии BA x = 2,

dx = 0. Следовательно,

∫z2dz = ∫−4ydy +i ∫(4 − y2 )dy = −2 +

11i.

В результате ∫z2dz = ∫z2dz + ∫z2dz =

−2 +

11i = 2 +

11i.

OBA

Как видно,

интеграл ∫z2dz не зависит от пути интегриро-

OAB

вания. Этого и следовало ожидать, так как подынтегральная функция f (z) = z2 (в отличие от функции f (z) = z 2 (см. пример на стр. 52) является аналитической. Поэтому интеграл от неë мо-

жет быть вычислен непосредственно по формуле Ньютона - Лейбница

							∫z2dz = 2∫+iz2dz =														z3			2+i			=	2		+	11i.
																					z3							2

							OBA							0								3		0				3			3
							OBA							0								3		0				3			3
		Примеры. Вычислить интегралы от аналитических функ-
ций:
				π / 2+i								2																					i
		1)		∫cos zdz;					2)			∫(sin 2z −ie−3z )dz;																			3)		∫(3z4 − 2z3 )dz.
				0								0																					1
		Применяя к интегралам формулу Ньютона – Лейбница (3.6),
находим:
	π	+i											π																	π					π
	2						π	+i
1) ∫cos zdz =sin z							π	+i										−sin 0 = sin													cos i +cos						sin i =
1) ∫cos zdz =sin z							02		= sin							+i		−sin 0 = sin													cos i +cos						sin i =
	0												2																	2					2
	= ch1.																									2
	2												cos 2z						e			−3z						1								1−e		−6


2)	∫	(sin 2z −ie−3z )dz															−i													(1−cos 4) −i
									= −																		=												.
									= −																		=												.
															2					−3								2									3
	0														2					−3						0		2									3
	0																i									0
	i								3					1		4			3											1					3
	i
3) ∫		(3z	4	− 2z	3	)dz =				z	5	−			z			=					(i	5	−1)				−		(i	4	−1)	= −			(1−i).

									5					2					5											2					5
	1																1
	1																1
		Теорема Коши для многосвязной области.																																Рассмотрим

двухсвязную область D, ограниченную внешним контуром C0 и внутренним контуром C1 (см. рис. 24). Предположим, что функция f (z) является аналитической как внутри этой области, так и на контурах C0 и C1 .

Направление обхода полной границы двухсвязной области будем считать положительным, если область остается все время слева (при этом внешний контур обходится в положительном направлении против часовой стрелки, а внутренний обходится против часовой стрелки в отрицательном направлении).

Соединим контуры C0 и C1 вспомогательными дугами γ1 и γ2 . Тогда область D окажется разделенной на две односвязные

области, контуры которых обозначим соответственно через C′ и

C′′.

По теореме Коши для односвязной области

∫ f (z)dz = 0 и	∫ f (z)dz = 0.
C′=abcdefa	C′′=chafgdc

Рис. 24

Складывая эти равенства и учитывая при этом свойства криволинейных интегралов от функций комплексной переменной, получим:

∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz − ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz +

C′ C′′ abc cd def fa

+ ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz − ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = 0.

	cha	af	fgd	dc
Так как	∫ f (z)dz = −∫ f (z)dz,		а ∫ f (z)dz = −∫ f (z)dz, то
	cd	dc	fa	af
		∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz.
		C0	C1

Таким образом, доказана теорема Коши для двухсвязной области: интеграл от аналитической функции, взятый по наружному контуру, равен интегралу по внутреннему контуру, обходимому в том же направлении.

Или: если функция f (z) является аналитической во всех точках некоторой области D , кроме точки z0 , лежащей в этой

области, то интегралы от этой функции по любым замкнутым контурам, принадлежащим области, для которых точка z0 явля-

ется внутренней, равны между собой.

Для иллюстрации важности этой теоремы рассмотрим пример, который понадобится в дальнейшем.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.201578.34 Кб38ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ.doc
#
27.03.2016280.2 Кб48Тренировочная работа форматирование в Excel.pdf
#
27.03.201696.26 Кб64тсп КПземляные работы.doc
#
27.03.201616.76 Mб1318ТСП Лекции.doc
#
27.03.20161.24 Mб150ТСП ПЗ.doc
#
27.03.20162 Mб157ТФКП и ОП.pdf
#
27.03.2016682.64 Кб255Тяговый расчет ГМ.pdf
#
06.09.2019430.08 Кб28уитс.doc
#
23.11.20181.17 Mб65УМК для менеджеров.doc
#
23.11.20191.15 Mб12УМК для экономистов.doc
#
15.09.20191.59 Mб13УМК Отечественная история (2010).doc