ТФКП и ОП

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ln(z1z2 ) = Ln z1

.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

3) Находим образ отрезка уравнений:

u(x, y) = x2 − y2 ,v(x, y) = 2xy,

x = −1.

LM	прямой	x = −1 из системы
		− y	2	,
	u =1
	v = −2 y.

Так как y = −v / 2, то u =1−v2 / 4. В плоскости u0v это уравнение квадратной параболы, координаты вершины которой (1,0), а

ветви направлены в отрицательном направлении оси 0u.

4) Аналогично находим образ отрезка KN прямой x = −2 из системы уравнений:

	y) = x			2	− y	2	,
u(x,	y) = x				− y		,		2	,
									2	,
v(x, y) = 2xy,
								v = −4 y.
x = −2.
Поэтому u = 4	−	v2	- это квадратная парабола, координаты
Поэтому u = 4	−	16	- это квадратная парабола, координаты
вершины которой		16		и ветви направлены в отрицательном
вершины которой	(4;0),			и ветви направлены в отрицательном

направлении оси 0u.

5) Находим образ отрезка MN прямой y = 0 :

u(x, y) = x2 − y2 ,v(x, y) = 2xy,

y = 0.

Следовательно, прямая

y = 0 отображается в плоскости

u0v на положительную часть действительной оси. При этом координаты граничных точек отрезка MN в плоскости u0v

будут M ′(1;0) и N′(4;0).

Итак, область D на плоcкости x0 y отобразится на область D′

на плоскости u0v вида (рис.14).

u = x2 ≥ 0,v = 0.

Рис. 14

Пример. Построить отображение области D (рис. 15) на плоскости x0 y на плоскость u0v с помощью функции w = ez .

Рис. 15

Так как

ez = ex+iy = exeiy = ex (cos y +i sin y),

то действитель-

ная и мнимая части функции ez равны:

u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y.

1) Находим образ отрезка MN,

исключая x и y из системы

уравнений:

cos y,

u = e

u = ex cos 4,

v = ex

sin y,

= tg 4,

v = (tg 4)u.

y = 4.

v = e

sin 4,

Заметим,

что tg 4 ≈1,16 > 0 , и образом прямой y = 4 , парал-

лельной действительной оси 0x в плоскости x0 y ,

будет прямая

v ≈1,16u, проходящая через начало координат в плоскости u0v .

Так как	координаты				граничных точек			отрезка	MN :
M (1;4), N (2;4),	то	координаты					этих точек в	плоскости	u0v :
′		′	2	cos 4;e		2	sin 4) . Вычисляя, находим
M (e cos 4;e sin 4),		N (e
′	′						Следовательно, отрезок		MN
M (−1,78;−2,06), N (−4,83;−5,59).
отображается на отрезок				′	′	расположенный в третьей четвер-
				M N ,

ти плоскости u0v .

2) Находим образ отрезка ML прямой x =1 из системы уравнений:

				33
	x	cos y,
u = e		cos y,	u = e cos y,
v = ex		sin y,	u = e cos y,	u2 +v2 = e2 - это окружность

x =1.			v = esin y,

радиуса R = e с центром в начале координат в плоскости u0v . Ко-

ординаты точки L				′		′
ординаты точки L					в плоскости u0v : L (e cos 0;e sin 0) = (e;0).
	3) Аналогично получим образ отрезка NK прямой x = 2 :
		x	cos y,
u = e			cos y,		u = e2 cos y,
v = ex			sin y,		u = e2 cos y,	u2 + v2 = e4 - это окруж-

x = 2.					v = e2 sin y,
x = 2.

ность радиуса R = e2 с центром в начале координат в плоскости u0v . Координаты точки K′(e2 cos 0; e2 sin 0) = (e2 ;0) ≈ (7,39;0).

Образ D′ области D при отображении, осуществляемом функцией w = ez , показан на рис. 16.

Рис. 16

2.2. Свойства основных элементарных функций комплексной переменной

Эти функции являются естественным распространением на комплексную область наиболее распространенных в математическом анализе элементарных функций: показательных, тригонометрических, гиперболических, логарифмических функций действительной переменной.

Определим основные элементарные функции комплексной переменной z как суммы таких степенных рядов, в которые разлагались эти функции, когда переменная z была действительной:

∞

ez =1+ z +

... +

+... = ∑

(2.2)

n=0

∞

cos z =1−

−... +(−1)n

−... = ∑

(−1)n

(2.3)

(2n)!

n=0

2n+1

∞

2n+1

sin z = z −

−... +(−1)n

−... =

∑(−1)n

(2.4)

(2n +1)!

n=0

∞

ch z =1+

−... +

−... = ∑

(2.5)

(2n)!

n=0

2n+1

∞

2n+1

sh z = z +

−... +

+... = ∑

(2.6)

(2n +1)!

n=0

Справедливость этих разложений будет доказана ниже.

Если в разложениях (2.2 – 2.6) заменить z

любым положи-

тельным действительным числом r, то получившиеся ряды будут сходящимися на всей числовой оси. Поэтому, если в них заме-

нить произвольное положительное r на	z	(а	z	, как отмечалось,

положительное действительное число при		z ≠ 0), то ряды (2.2 -

2.6) в комплексной области будут абсолютно сходящимися в лю-

бой точке плоскости z (так как будут сходящимися ряды,								состав-
ленные из модулей членов [10]).
Подставляя в ряд (2.2)			iz	вместо			z , получим
eiz =1+iz −	z2	− iz3		+	z4	... +	(iz)n +...	(2.7)

2!			3!	4!			n!

Умножим далее равенство (2.4) почленно на i и сложим с равен-

ством (2.3):

cos z +i sin z =1+iz −	z2	−	iz3	+	z4	...	(2.8)
	2!		3!		4!

Сопоставляя ряды (2.7) и (2.8) можно заключить, что справедливо равенство

eiz = cos z +i sin z.

(2.9)

Это важное равенство, связывающее показательные и тригонометрические функции комплексного аргумента, называется формулой Эйлера. Формула Эйлера позволяет перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа (1.4) к показательной (1.10).

Заменяя в (2.9) z на (- z ), получим

e−iz = cos z −i sin z.				(2.10)
Отметим интересные частные случаи формулы Эйлера:
π		π	2
e±2πi =1, e±πi = −1, e±2 i = ±i, e	±	4 i =	2	(1±i).
			2

Складывая и вычитая формулы (2.9), (2.10), получим формулы, выражающие тригонометрические функции комплексной переменной через показательные функции

cos z =	eiz +e−iz	,	sin z =	eiz −e−iz	.	(2.11)
	2			2i

Из формул (2.2, 2.5, 2.6) следует, что гиперболические функции комплексной переменной связаны с показательными равенствами

ch z =	ez +e−z	,	sh z =	ez −e−z	.	(2.12)
	2			2

Заменяя в (2.12) z на (- z ), устанавливаем связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями комплексной переменной

ch iz =	eiz + e−iz	= cos z,	sh iz =	eiz −e−iz	= i sin z.	(2.13)
	2			2

Используя формулу Эйлера и свойства показательной функции, нетрудно убедиться в том, что тригонометрические функции cos z и sin z , как и в случае действительного аргумента, имеют период 2π, и для них справедливо основное тригонометрическое тождество

−iz

cos2

z +sin2

z = e

+ e

−e

e2iz + 2 +e−2iz

−

2iz − 2 + e−2iz

=1.

Остаются в силе и другие тригонометрические формулы. Однако на комплексной плоскости тригонометрические функции

cos z

и sin z перестают быть ограниченными. Например,

cosi =

ei2

+ e−i2

e + e−1

≈1,543 >1,

тогда как при действительном x

cos x

≤1,

sin x

≤1.

Функции tg z и ctg z

определяются обычным образом

tg z = sin z ,

ctg z =

cos z

sin z

Из формул (2.13) и основного тригонометрического тожде-

ства

cos2 ϕ +sin2 ϕ =1 легко получить равенство

ch2 ϕ −sh2 ϕ =1.

Из этой формулы следует, что аналогично тому, как точка с

координатами x = cosϕ, y = sinϕ

описывает единичную окруж-

ность x2 + y2 =1, так и точка с координатами x = chϕ, y = shϕ при изменении ϕ описывает равнобокую гиперболу, уравнение которой x2 − y2 =1.

Это обстоятельство и объясняет происхождение названия функций chϕ и shϕ - “гиперболические”.

Если в формулах (2.11) сделать замену z на iz, то приходим к следующим соотношениям:

cosiz =	ei2z +e−i2z		=	ez + e−z		= ch z,		(2.14)
		2		2

sin iz =		e−z −ez		= −	sh z		,
		2i			i
откуда следует
	sh z = −i sin iz.							(2.15)

Для показательной функции комплексного аргумента справедлива теорема сложения в виде

	ez1+z2 = ez1 ez2 .
	В частности, если z = x +iy, то
ez	= ex+iy = ex eiy = ex (cos y +i sin y), откуда следует,	что	ez	= ex ,
ez	= ex+iy = ex eiy = ex (cos y +i sin y), откуда следует,	что	ez	= ex ,
а одно из значений аргумента равно y.
	Теперь легко видеть, что ez ≠ 0 на всей комплексной плос-
кости. Действительно, так как ez = ex cos y +iex sin y,		то функция
ez	может равняться нулю только, если одновременно

	e	x	cos y = 0,	Но так как ex
ex			sin y = 0.	Но так как ex

cos y = 0,

няться равенства sin y = 0,

≠ 0, то должны одновременно выпол-

что при действительных значениях y

невозможно. Следовательно, ez ≠ 0.

Используя теорему сложения и формулу Эйлера, легко убедиться в том, что показательная функция комплексной переменной оказывается периодической с мнимым периодом 2πi, то есть справедливо равенство

ez+2kπi = ez , где k = 0,±1,±2,...

Действительно, ez+2kπi = ez e2kπi = ez (cos 2kπ +i sin 2kπ) = ez .

Геометрически периодичность функции ez означает, что всем точкам, лежащим в плоскости z на прямой, параллельной мнимой оси на расстоянии 2π друг от друга (то есть точкам z + 2kπi, k - произвольное целое число), соответствует одна и та

же точка w = ez в плоскости w.

2.3. Логарифмическая функция комплексной переменной

Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной: число w называется комплексным логарифмом числа z и обозначается символом w = Lnz , если ew = z.

Если w = u +iv, то ew = eu+iv = eu eiv = eu (cos v +i sin v),

= eu , откуда следует

u = ln

. Здесь ln

- обычный на-

туральный логарифм, так как

- положительное действительное

число.

Arg(ew ) = Arg z = v. Поэтому приходим к равенству

Ln z = ln z +i Arg z = ln z +i(arg z + 2kπ) k = 0,±1,±2,... (2.16)

Таким образом, каждое комплексное число z ≠ 0 имеет бесчисленное множество логарифмов. Другими словами, комплексный логарифм есть бесконечнозначная функция: еë действительная часть определяется однозначно, а мнимая – с точностью до слагаемого, кратного 2π. Главным значением логарифма числа z будет значение, соответствующее главному значению аргумента:

ln z = ln z +i arg z.

Легко показать, что правила о логарифме произведения и частного действительных чисел справедливы и для логарифмов комплексных чисел, то есть

Итак, распространение в комплексную область обычных в анализе элементарных функций действительной переменной привело к тому, что они приобрели ряд новых отличительных свойств:

•	показательная функция ez оказалась периодической,
•	тригонометрические функции cos z и sin z перестали быть
	ограниченными,

• приобрëл смысл логарифм отрицательных чисел.

Пример. Вычислить значения функций:

а) w = sin z при	z = 5 −i; б) w = 3 − 2 ch z2 при z = 2 +i.
а) Так как	sin(5 - i) = sin5cosi - cos5sini , то применяя форму-

лы (2.14), (2.15), получим

sin(5 - i) = sin5ch1cos5 - sh1i = sin5ch1icos5sh1.

2-ой способ:

=− 2i [e(cos5 +i sin 5) −e−1 (cos5 −i sin 5)] = sin 5 e +2e−1 −

−i cos5 e −2e−1 = sin 5ch1−i cos5sh1 ≈ −1,48 −0,34i.

Заметим, что sin(5 −i) ≈ (−1,48)2 + (−0,34)2 =1,52 >1.

б) ch z2 = ch(2 +i)2 = ch(3 + 4i).

Так как ch(x ±iy) = ch x cos y ±i sh x sin y , то

ch(3 + 4i) = ch 3cos 4 +i sh 3sin 4 ≈ −6,51−7.61i.

Поэтому w = 3 − 2 ch z2 = 3 − 2 ch(2 +i)2 ≈16,02 +15,22i.

Пример. Найти Ln(−10).

Ln(−10) = ln −10 +i(π + 2kπ) = ln10 +iπ(1+ 2k), k = 0,±1,...

Пример. Решить уравнения:

а) cos z + 2 = 0;			б) 2i sin z +3 −eiz −3i = 0.
а) Так как		cos z =		eiz + e−iz		, то уравнение может быть запи-
					2
	eiz	+e−iz
сано в виде			+ 2 = 0 или e2iz + 4eiz +1 = 0. Это квадратное
		2					(eiz )
уравнение относительно eiz , его корни:								= −2 ±	3.
							1,2
Логарифмируя эти равенства, находим
iz = Ln(−2 ±	3) = ln − 2 ±				3 +i[arg(−2 ±		3) + 2πk],		k = 0,±1,±2,...
Так как числа − 2 ±			3 < 0, то arg(−2 ±				3) =π. Следовательно,
z = 1ln − 2 ±	3 + arg(−2 ±				3) + 2πk =π(1+ 2k) −i ln − 2 ±				3 , k = 0,±1,..
i

Итак, уравнение а) имеет две серии корней:

z1k =π(1+ 2k) −i ln − 2 + 3 , z2k =π(1+ 2k) −i ln − 2 − 3 .

б) Заменяя sin z по формуле (2.11), приводим уравнение к виду e−iz = 3 −3i. Логарифмируя это равенство, получим

	−	π
−iz = Ln(3 −3i) = ln 3 2 +i	−	4	+ 2kπ , k = 0,±1,±2,...
		4

Следовательно, корни уравнения б) равны

z =	π	+ 2kπ +i ln 3 2, k = 0,±1,±2,...
	4

2.4.Непрерывность и дифференцируемость функций комплексной переменной

Пусть функция комплексной переменной w = f (z) опреде-

лена и однозначна в некоторой окрестности точки z0						= x0 +iy0 .
Говорят, что существует предел функции					f (z) = u(x, y) +iv(x, y)
при z → z0 , если существуют пределы lim u(x, y) = u0						и
				x→x0 ,
	lim v(x, y) = y0 . При этом			y→y0
			lim f (z) = u0 +iv0 = w0 .
	x→x0 ,		z→z0
	y→y0
	Определение предела может быть также сформулировано с
помощью понятия окрестности:				lim f (z) = w0 , если		для любого
малого ε > 0 найдется			такое	z→z0	что из	неравенства
				δ > 0,
	z − z0	<δ следует неравенство		f (z) − w0	< ε.

Эти определения аналогичны обычным определениям предела для функции действительной переменной. Поэтому основные свойства пределов в действительной области остаются справедливыми и для функций комплексной переменной:

lim[ f (z)

z→z0

lim[ f (z)

z→z0

lim f (z)

z→z0 ϕ(z)

±ϕ(z)] = lim

z→z0

ϕ(z)] = lim

z→z0

lim f (z)

=zlim→z0 ϕ(z) ,

z→z0

f (z) ± limϕ(z),

z→z0

f (z) limϕ(z),

z→z0

limϕ(z) ≠ 0.

z→z0

Отметим, что из существования конечного предела функции комплексной переменной вытекает независимость этого предела от способа стремления z к z0 (то есть ∆z = z − z0 может стре-

миться к нулю по любому пути).

Функция f (z) называется непрерывной в точке z0 , если она определена в некоторой окрестности z0 (включая саму точку

z0 ) и lim f (z) = f (z0 ). Геометрически непрерывная функция ха-

z→z0

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.201578.34 Кб38ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ.doc
#
27.03.2016280.2 Кб48Тренировочная работа форматирование в Excel.pdf
#
27.03.201696.26 Кб64тсп КПземляные работы.doc
#
27.03.201616.76 Mб1318ТСП Лекции.doc
#
27.03.20161.24 Mб150ТСП ПЗ.doc
#
27.03.20162 Mб157ТФКП и ОП.pdf
#
27.03.2016682.64 Кб255Тяговый расчет ГМ.pdf
#
06.09.2019430.08 Кб28уитс.doc
#
23.11.20181.17 Mб65УМК для менеджеров.doc
#
23.11.20191.15 Mб12УМК для экономистов.doc
#
15.09.20191.59 Mб13УМК Отечественная история (2010).doc