Третий уровень

[081] Найдите шестизначное число, произведение которого на 2, 3, 4, 5 и на 6 записывается теми же цифрами, что и оно само, но в другом порядке.

Результат. 142857.

[082] Все натуральные числа и ноль выписаны в ряд одно за другим: 0123456789101112131415161718....Определите, какая цифра стоит на m - м месте.

Тесты и результаты. 1) m=130. 9. 2) m=200. 1. 3) m=781. 6. 4) m=23000. 0. 5) m=2000. 7. 6) m=167. 8.

7) m=1000. 9. 8) m=791. 3.

[083] В последовательности цифр a1, a2,... каждый член, начи­ная с четвертого, равен последней цифре суммы всех предыдущих. Напишите программу, которая по заданным a1, a2, аЗ и n определя­ет an (1<=n<= 1000000000). Алгоритм с количеством действий, рав­ным N, недопустим.

Тесты и результаты. 1) 1; 7; 1.n=6З. 2.n=64. 4.n=65. 8.n=66. 6.n=3165. 8.n=38640. 4.n=25265. 8.n=4. 9.

2)1;2;3.n=649.2. n=700. 6. n=32867. 8. n=32869.2

3) 3; 7; 5. n=4. 5. Все остальные члены данной последователь­ности - нули.

[084] В последовательности цифр a1, a2,... каждый член, начи­ная с (m+1)-го, равен последней цифре суммы всех предыдущих. Напишите программу, которая по заданным a1, a2, а3,...а n и n оп­ределяет an (1<=n<= 1000000000). Алгоритм с количеством дейст­вий, равным N, недопустим.

Тесты и результаты

1) m=7. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. n=1996. 8. n=1997. 6. n=1998. 2 n=1999. 4.n=2000.8 n=2001. 6. n=2002.2. n=2003.4. 2)m=9. 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1.n=10.9. n=325. 4. n=330. 2.

3)m=6. 5; 2; 4; 8; 0; 1. n=7.0. Все остальные члены данной по­следовательности - нули.

[085] В последовательности цифр каждая цифра, начиная с (n+1), равна последней цифре суммы n предыдущих цифр. Опреде­лите, когда снова получится начальная комбинация из первых n цифр, то есть найдите период. Аргументами задачи является число n и первые n членов последовательности.

Тесты и результаты. 1) n=2; последовательность: 3:4. Т=12. 3; 4; 7; 1; 8; 9; 7; 6; 3; 9; 2; 1; 3; 4;....

2) n=2; последовательность: 5; 0. Т=5; 5; 0; 5; 5; 0; 5;....

3) n=3; последовательность: 1,2; 1. Т=62.

1; 2; 1; 4; 7; 2; 3; 2; 7; 2; 1; 0; 3; 4; 7; 4; 5; 6; 5; 6; 7; 8; 7; 6; 5;2; 3; 0; 5; 8; 3; 6; 7; 6; 9; 2; 7; 8; 7; 2; 7; 6; 5; 8; 9; 2; 9; 0; 1; 0;1; 2; 3; 6; 1; 0; 7; 8: 5; 0; 3; 8; 1; 2; 1;....

4) n=3; последовательность: 1; 1; 1. Т=31.

5) n=3; последовательность: 4; 8; 1. T=124.

6) n=4; последовательность: 1; 2; 3; 4. Т=1560.

[086] Из данного числа А выберите все тройки цифр из которых составляется простое число, являющееся палиндромом.

Тесты и результаты. 1) А=51731, 131; 151.

2)А=171393, 131;191; 313;373.

3) А= 13591329, 131; 151; 191; 313; 353; 919; 929.

[087] Сколько натуральных чисел, не больших заданного k, имеют в своем двоичном разложении ровно три значащих нуля ?

Тесты и результаты. 1) k=40, S; 2) k=50, 13; 3) k=100, 26; 4)k=150, 36; 5)k=180,45; 6)k-200, 51; 7)k=300,71.

[088] Даны n натуральных чисел. Разбейте их на группы, со­держащие числа, у которых одинаковое количество единиц в двоич­ном разложении, и упорядочите группы по возрастанию количества единиц.

Тест. n=12. Числа: 7; 16; 19; 15; 8; 5; 33; 49; 65; 4; 42; 10.

Результат. 1) 16; 8; 4. 2) 5; 33; 65; 10. 3) 7; 19; 42. 4) 15; 49.

[089] Из множества натуральных чисел a1, a2,...,ak выделите такие, которые имеют периодическое двоичное разложение. Пока­жите для каждого такого числа его двоичное разложение и найдите наименьший период.

Тест. k=6.153;381;630;292;170;327.

Результат. 1) 153=10011001₂; Т=4. 2) 292=100100100₂; Т=3. 3)170=10101010₂; Т=2.

[090] Найдите такие натуральные числа п, чтобы сумма квадра­тов k последовательных чисел, начиная с n, являлась точным квад­ратом.

[091] Дано натуральное число, содержащее k цифр. Определите количество различных рядом стоящих пар цифр в этом числе и вы пишите все различные пары в порядке возрастания. Какие пары встречаются чаще других ?

[092] Подсчитайте число "счастливых" билетов в промежутке от 000000 до 999999 и их процентное содержание от общего числа билетов.

Результат. S=55252; F=5,5252%.

[093] Найдите все трехзначные числа, равные среднему ариф­метическому чисел, полученных из каждого такого числа всеми пе­рестановками (включая тождественные) его цифр.

[094] Рассматриваются натуральные числа, в десятичной запи­си которых имеются только цифры 1, 3, 7. Все такие числа зануме­рованы в порядке возрастания. Чему равно n-е число данной после­довательности?

Тесты и результаты

1) n=8;R=33. 2)n=35;R=733. 3) n=68; R=3113. 4) n=100; R=7171. 5) n=105; R=7317. 6) n=200; R=17773.

[095] Найдите сумму всех цифр в десятичной записи числа 5²⁰⁰-7

Результат. 558.

[096] Выполните целочисленное деление длинного числа А на короткое В. Все числа натуральные.

Тест. А$="308641358025"; В$="555555".

Результат. A/B=555555.

[097] Дается система счисления с двумя цифрами 1 и 0. Весами являются последовательные числа Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13,21,34, 55, 89,...(единица вначале - одна). Например, 1001101₂=1+3+5+21=30. Даны две строки, представляющие числа А и В. Найдите строку, представляющую число А+В. Строки могут быть столь длинны, что числа А и В превышают максимально допусти­мое целое число данного типа.

Тесты и результаты. 1) А$="100010001"; В$=" 10010001"; 64+43=107.R$="110011110".

2) A$="1111111111001110011111"; B$= "111110000011111000"; 74612+10040=84652.

R$="11001010000011010010011".

[098] Разделите два натуральных числа А и В друг на друга с выделением периода десятичной дроби, если он есть.

Тесты и результаты. 1)1/6=0.1(6); 2) 67/11=6. (09); 3) 65/11=5.(9); 4)1/1010=0.0(0099); 5) 1/101=0. (0099); 6)23/56=0.410(714285); 7) 21/23=0. (9130434782608695652173);

8) 341/170=0.0(0588235294117647).

[099] Перечислите все пары простых соседних чисел, которые меньше данного k, троичные представления которых получаются друг из друга записью цифр в обратном порядке. Первая такая пара: 5 и 7.

Тест. 1с=500.

Результат. 5 и 7 (12₃ и 21₃); 31 и 37 (1011₃ и 1101₃).

[100] Найдите две последние цифры числа 2^n для произволь­ного натурального n.

Материал для тестирования

Представьте n в виде: n=20*t+k, где t, k - целые и 0<=k<=19.

Две последние цифры возьмите из таблицы:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
76	52	04	08	16	32	64	28	56	12	24	48	96	92	84	68	36	72	44	88

М А С С И В Ы.