Третий уровень

[1009] В квадратном двумерном массиве (2n-1)*(2n-1), запол­ненном натуральными числами, найдите кратчайший путь от клетки (1, 1) до (2n-1; 2n-1), если ходить можно только вниз и вправо и при этом обязательно нужно пройти через центр (n; n).

[1010] Шахматное поле 8*8 заполняется натуральными числа­ми от 1 до 99. Изобразите все пути длиной в 6 ходов из данной точ­ки (х0; у0). Ходить можно ходом шахматного коня и переходить только на клетку, содержащую простое число. Выделите пути с наименьшей суммой и определите количество путей.

[1011] Расставьте на шахматной доске 8 ферзей так, чтобы ни­какие два не били друг друга.

Результат.

92 варианта: 12 совершенно разных, 11 из них имеют восемь модификаций - симметрии и повороты, а 12 - всего четыре модификации. 11*8+1*4=92.

[1012] Составьте программу, подсчитывающую число "оазисов- прямоугольников" из единиц и в массиве, заполненном только единицами и нулями.

[1013] Составьте программу, подсчитывающую число "оазисов" из единиц и в массиве, заполненном только единицами и нулями.

[1014] У царя Гвидона было два сына, а у всех его потомков -один или два сына, либо вовсе не было детей. Начертите генеалоги­ческое дерево потомства царя Гвидона, используя датчик случайных чисел. Число поколений должно быть не более пятнадцати, так как род Гвидона гибнет от междоусобиц, если в одном поколении появ­ляется более пятнадцати потомков.

[1015] Даны 3 ферзя: первый и второй - белые, а третий - чер­ный. Кроме них на шахматной доске других фигур нет. Определите, учитывая все правила игры в шахматы, какой из белых ферзей на­ходится под ударом черного ферзя.

Тесты и результаты.

1 2 3 Результаты

C3	E3	H3	бьет 2, не бьет 1
D7	E6	F5	бьет 2, не бьет 1
F8	H2	G7	бьет обоих
A6	H5	B5	бьет обоих
E3	H2	G1	бьет обоих
D7	F8	G4	бьет 1, не бьет 2
C6	C7	C5	бьет 1, не бьет 2
H6	H2	F5	не бьет обоих
F2	B2	D1	не бьет обоих

[1016] Среди N человек некоторые знакомы друг с другом. Понятие "быть знакомым" обладает свойством симметричности: ес­ли А знаком с В, то и В знаком с А. Таблица знакомств Z(N, N) со­держит в Z(K, S) единицу, если К и S знакомы друг с другом, и ноль, если они не знакомы. Выделите наибольшую группу попарно не знакомых друг с другом людей.

[1017] Даны k точек на координатной плоскости. Используя все данные точки, проведите незамкнутую ломаную линию наи­меньшей длины. Ломаная может иметь точки самопересечения.

[1018] Даны k точек на координатной плоскости. Используя все данные точки, проведите незамкнутую ломаную линию наи­меньшей длины. Ломаная должна быть без точек самопересечения.

[1019] Переставьте цифры данного четырехзначного, числа n таким образом, чтобы они образовали такое четырехзначное число k, которое в своем двоичном разложении содержит восемь подряд идущих единиц.

Тесты и результаты.

1) N=3023; k=2303=00011111111₂; 2) N=1345; k=1534=10111111110₂

[1020] Переставьте цифры данного четырехзначного числа n таким образом, чтобы они образовали такое четырехзначное число х, которое нацело делится на данное трехзначное число k.

Тесты и результаты.

1) n=1287; k=103; x=-2781=103*27, 2) n= 2837; k=121; x=3872=121*32.

[1021] Сообщество роботов живет по следующим законам:

1) каждый год они собираются в группы по три или пять роботов;

2) за год каждая группа из трех роботов собирает пять новых, а ка­ждая из пяти роботов - девять новых роботов;

3) роботы объединяются так, чтобы собрать наибольшее количество роботов;

4) каждый робот живет пять лет после сборки, но может участвовать в сборке только первые три года.

Известно, в начале было n только что собранных роботов. Сколько будет роботов после m лет?

Тесты и результаты.

6-2	44	7-2	46	8-2	60	9-2	24
6-3	122	7-3	128	8-3	168	9-3	66
6-4	330	7-4	345	8-4	456	9-4	184
6-5	888	7-5	928	8-5	1228	9-5	499
6-6	2408	7-6	2517	8-6	3330	9-6	1345
6-7	6522	7-7	6818	8-7	9022	9-7	3648
6-8	17668	7-8	18469	8-8	24440	9-8	9884

[1022] Дан неубывающий массив B(N). Составляются всевоз­можные суммы из этих элементов массива. Сумма может состоять и из одного слагаемого. Найдите наименьшее натуральное число, ко­торое нельзя представить в виде суммы. Данный массив - натуральный, каждый элемент в сумму берется только один раз.

Тесты и результаты.

1)1,2,3. 7. 5)1,2,4,4,13. 12.

2)1,2,4,8,16. 32. 6)1,2,5,6,7. 4.

3)1,8,9,10. 2. 7)1,2,4,9,11. 8.

4)2,3,5,7. 1. 8)1,2,3,4,4,9. 24.

[1023] Дан автобусный билет с номером, состоящим из k цифр. Расставьте между цифрами знаки арифметических действий (+, -, *, /) и скобки таким образом, чтобы значение полученного выражения было равно 100. Можно образовать многозначные числа из стоящих рядом цифр. Выражение должно быть корректным с точки зрения арифметики. Если для введенного номера решение найти не удает­ся, то программа должна напечатать "номер билета" = ?, в против­ном случае на печать выводится запись решения, например, 0+(19+1)*5+0=100.

[1024] Составьте алгоритм и напишите программу, позволяю­щую зашифровать текст, состоящий из латинских букв, пробелов и знаков препинания («,», «?», «.», «!») по следующему правилу: в ка­ждом слове делается циклическая перестановка относительно пер­вой гласной буквы и в конце слова прибавляется "OK" ( today -odaytok). Если слово начинается с гласной, то осью вращения ста­новится вторая гласная (item - emitok). Если второй гласной нет, то ничего не переставляется. Две гласные в начале слова воспринима­ются как одна гласная ( oil - oilok), ( earwig - igearwok).

Строка символов вводится без нажатия клавиши "ENTER" (ввод). Текст вводится строчными буквами, используются по необ­ходимости прописные. После каждого знака пунктуации следует ставить пробел (но не перед знаками пунктуации). Признаком кон­ца-текста является символ «.» или нажатие клавиши "ENTER". Про­писные буквы заменяйте на строчные.

[1025] "Латинские квадраты". Матрица А называется латин­ским квадратом порядка N, если каждое из чисел 1, 2, 3,...,N входит ровно один раз в каждую строку и в каждый столбец матрицы А. Подсчитайте R - количество различных латинских квадратов с фик­сированной первой строкой: 1, 2, 3,...,М для 1<N<10.

Тесты и результаты.

1) N=2; R=1. 2) N =3; R=2. 3) N=4; R=24. 4) N=5; R=1344.

[1026] "Таблица". В таблице N*N клетки заполнены случай­ным образом цифрами от 0 до 9. Найдите маршрут из клеточки А(1; 1) в клеточку A(N; N) при условии, если:

1) он будет состоять из отрезков, соединяющих центры клеток, имеющих общую сторону;

2) длина маршрута - минимально возможная;

3) из всех маршрутов, удовлетворяющих условиям (1) и (2), ис­комый маршрут тот, сумма цифр в клетках которого максимальна.

Организуйте вывод маршрута как последовательность пар ко­ординат клеток, через которые он проходит, при этом первая коор­дината - номер строки, вторая - номер колонки. При вводе N программа должна указывать, для какого максимально возможного числа N она может работать.

[1027] Для натурального числа k требуется найти любое число, состоящее только из 0 и 7 и делящееся да k. При вводе k программа должна сообщить, для какого максимального числа k она может ра­ботать.

[1028] "Матрица отношений". Задана матрица отношений R размера N*N. Найдите натуральные числа X[i], i=l, 2,...,N; Y[j], j=1, 2,...,N такие, что:

X [ i ]<Y [ j ] , ecли R[i, j]="<";

X [ i ]>Y [ j ] , eсли R[i, j]=">";

X [ i ]=Y l j l , ecли R[i, j]="=".

Тесты и результаты.

	1	1	2	3	7	8
2	>	>	=	<	<	<
4	>	>	>	>	<	<
4	>	>	>	>	<	<
9	>	>	>	>	>	>
9	>	>	>	>	>	>
8	>	>	>	>	>	>

	2	2	2
3	>	>	>
1	<	<	<
2	=	=	=

[1029] "Палиндром". Число называется палиндромом, если его запись читается одинаково от начала и от конца. Для натурального числа n требуется найти все палиндромы, состоящие из n цифр, квадраты которых также являются палиндромами. При вводе про­грамма должна сообщать, для какого максимального числа n она может работать. Время работы должно быть менее 30 секунд.

[1030] "Городские дороги". Улицы в городе, построенном в средние века, оказались слишком узкими для двустороннего движе­ния. Необходимо спланировать движение по городу так, чтобы с любой площади можно было бы проехать до любой другой. Площа­дей 15, всюду движение двустороннее. Найдите все дороги между тремя несмежными площадями и определите кратчайший путь ме­жду ними.

[1031] Наблюдатель стоял на остановке n минут, за это время мимо него прошло к автобусов. Известно, что автобусы одного маршрута ходят через равные промежутки времени и что прошло хотя бы два автобуса одного маршрута. Необходимо найти мини­мальное количество автобусных маршрутов.

[1032] Дан массив в виде лабиринта. В нем обозначены нулями клеточки, по которым может перемещаться робот, восьмеркой обо­значен выход из лабиринта. Вводится начальное положение робота. Покажите путь из лабиринта или установите, что такого пути нет.

[1033] Напишите программу, которая преобразовывает алгеб­раическое выражение, содержащее операции: +,-,*,/ и круглые скобки, в польскую обратную запись. Вычислите его значение, если операнды - целые положительные числа. Исходное выражение вво­дится в виде массива символов.

[1034] "Удав". Прямоугольная область задана своими коорди­натами: (х1; у1)- левая верхняя точка, (х2; у2) - правая нижняя. По границе области ползет удав длинной 1 со скоростью v. Внутри об­ласти движется точка со скоростью v1. Она начинает движение вниз от границы области на заданном расстоянии s от ее левого верхнего угла и под углом А к нижней линии области. Точка движется, отра­жаясь от стенок до тех пор, пока не столкнется с удавом. Объекты начинают движение одновременно. Составьте программу, вычис­ляющую количество отражений точки от границ области до столк­новения с удавом, если при стократном отражении точка не столк­нется с удавом, то программа прекращает работу, сообщив об этом событии.

[1035] "Царевна". В одной из клеток поля N*N (N>1) Кощей Бессмертный спрятал Марью Царевну, создав еще неизвестное чис­ло М (1<M<N*N) ее двойников в различных свободных клетках. И царевна, и ее двойники одинаково надежно укрыты и невидимы. Отправившийся на поиски царевны Иванушка - дурачок попросил у благоволящей к нему щуки датчик биосигналов.

Известно, что и Марья Царевна, и ее двойники испускают неза­тухающие направленные биолучи, распространяющиеся параллельно сторонам и диагоналям поля. Иванушка-дурачок также знает, что интенсивность биолуча Марьи Царевны в М раз выше интенсивно­сти биолучей двойников. Иванушка может установить свой датчик в любую клетку поля и получить величину суммарной интенсивности биолучей, приходящих в эту точку. Помогите Иванушке - дурачку определить местоположение настоящей царевны.

[1036] "Полоска". Расположенную вертикально прямоуголь­ную бумажную ленточку с закрепленным нижним концом стали складывать следующим образом: а) на первом шаге ее согнули по­полам так, что верхняя половина легла на нижнюю либо спереди ("п- сгибание"), либо сзади ("з- сгибание"); б) на последующих п-1 сгибаниях выполняется аналогичное действие с получающейся на предыдущем шаге ленточкой как с единым целым. Затем ленточку развернули, приводя ее в исходное состояние. На ней остались сгибы- ребра от перегибов, причем некоторые из ребер оказались на­правленными выпуклостью к нам (к- ребра), а некоторые от нас (о-ребра). Ребра пронумерованы сверху вниз числами от 1 до 2^(n-1). Составьте программу:

Запрашивающую строку из символов "п", "з", определяющую последовательность типов сгибания и номер ребра; и сообщающую тип этого ребра, получившийся после заданной последовательности сгибаний.

Запрашивающую строку из символов "о", "к", где нахождение на i-м месте символа "о" или "к" определяет тип ребра на расправ­ленной полоске, и выдающую строку из символов "п" и "з", опреде­ляющих последовательность типов сгибаний, посредством которых получена ленточка с исходной последовательностью ребер. Если та­кой строки не существует, то сообщите об этом.

Тесты и результаты.

1)окккоокооккооок; пззп.

2) коокккоокооокко; пзпз. 3) ооккоккооокооккоооккокккоокоокк; ппзпп.

[1037] "Караван". Географическая карта местности задана квадратной сеткой определенного масштаба. В узлах сетки известна высота над уровнем моря. Между соседними узлами высота изменя­ется плавно. Караван перемещается только по линиям сетки (перемещение по диагонали запрещено). Путь между двумя сосед­ними точками с углом наклона больше 45 градусов считается не­проходимым.

Проведите караван из точки А(х1; у1) в точку В(х2; у2) по пути с наименьшим перепадом высот или сообщите об отсутствии реше­ния. Перепадом высот на маршруте называется разность между са­мой высокой и самой низкой точками маршрута.

[1038] "Шифровка". Шифровка текста производится при по­мощи решетки размером 10*10, в которой сделано 25 прорезей так, что при поворотах квадрата вокруг центра на 90, 180 и 270 градусов каждая из 100 клеток квадрата открывается лишь однажды. Решетка накалывается на квадрат 10*10, и через прорези на бумагу наносят первые 25 букв текста. Решетка поворачивается на 90 градусов, и в новые прорези вновь записываются буквы. Поворот на 90 градусов повторяется еще дважды. В результате на квадрат 10*10 записыва­ется текст из 100 букв. Требуется сделать прорези, зашифровать текст из 100 букв и расшифровать его.

[1039] "Линия связи". Для надежности некоторый текст был передан по линии связи трижды, но каждый раз ровно один символ был принят в искаженном виде. Требуется по трем полученным тек­стам восстановить исходный текст или установить, что это сделать невозможно.

Тесты и результаты.

1)СЕКУНРА 2) ПИРАМИДА 3) ПОСИНУС 4) СРЕДА

СЕЛУНДА ВИРАМИСА КОФИНУС МИЕДА

СЕКУНТА ПИРАМИДА КОСИПУС ЯБЕДА

СЕКУНДА ВИРАМИДА КОСИНУС нельзя.

[1040] "АВВА". Имеются две строки : одна состоит из букв А и В, вторая - из цифр 0 и 1. Определите, можно ли из первой строки получить вторую, используя следующие операции:

1) любую букву А можно заменить на непустую последова­тельность цифр 0;

2) любую букву В можно заменить либо на непустую последо­вательность цифр 0, либо на непустую последовательность цифр 1.

Тесты и результаты.

1) А$="АВВВААВ"; W$="00000111100011 ". 0 – 0 – 000 - 1111 – 0 – 00 - 11.

2) A$="AABABBA"; W$="0000111011110". 0 – 000 – 111 – 0 – 1 – 111 - 0.

3) А$=''AВВААВА"; W$="1111101011". Получить строку нельзя.

[1041] Координаты всех домов в городе заданы парой целых .чисел так, что любой из домов можно однозначно изобразить в виде точки на мониторе ЭВМ. Требуется построить кольцевую дорогу минимальной длины так, чтобы не было ни одного дома вне дороги.

Тесты и результаты.

1) N=6. (2; 3), (3; 4). (4; 2), (1,3), (2; 4), (1; 1). 1-4-6-3-2-5-1. Pmin=10.3983456.

2) N=7. (3; 5), (2; 5). (3; 2), (4; 3), (1; 4), (4; 4), (2; 2). 1-2-5-7-3-4-6-1. Pmin=9.47870867.

[1042] Найти основание системы счисления k (2<=k<=9) такое, чтобы данное число t в этой системе было палиндромом.

[1043] Дано выражение, представляющее обратную польскую запись левой части уравнения с одной переменной х. Выражение состоит из знаков "+", "-", "*", "/", натуральных чисел и одного значка х. Решите данное уравнение и ответ представьте в виде несо­кратимой дроби m/n, где m- целое число и n- натуральное число.

[1044] "Гости за столом". У каждого из 2k гостей не более k-1 врагов. Рассадите всех гостей за круглым столом так, чтобы рядом /не сидели враги.

[1045] Массив A(N, M) заполняется случайным образом нату­ральными числами, находящимися на промежутке [s; t]. Укажите путь от А(1, 1) до A(N, M), если проходить массив можно только вниз и вправо и при этом нельзя проходить числа, содержащие в своем шестнадцатеричном представлении цифры "А", "В", "С", "D", "Е","F".

[1046] На плоскости даны произвольные замкнутые линии. Не­которые линии могут касаться или пересекаться. Вы находитесь внутри контура, ограниченного одной из этих линий. Найдите эту линию, перекрасьте ее и все касающиеся линии и пересекающиеся с ней.

[1047] "Паркетные плитки". Паркетная плитка имеет длину k, а ширину I. Каждый единичный квадратик раскрашивается либо желтым, либо коричневым цветами, которые обозначаются цифра­ми 0 и 1. Вначале выбирается плитка размером 3*1, для которой произвольно определяется ее раскраска, записываемая последова­тельностью нулей и единиц, например, "101". Для увеличения дли­ны можно присоединить к любому концу единичный квадратик любого цвета. Две плитки считаются одинаковыми, если их окраски совпадают при повороте на 180⁰ . определите t-количество различных плиток размером k*1.

Тесты и результаты.

1)’’101’’; k=4, t=2; k=5, t=7; k=6, t=14; k=7, t=35; k=9, t=166.

2)’’110’’; k=4, t=4; k=5, t=10; k=6, t=23; k=7, t=50; k=9, t=110.

3