- •Введение………………………………………………………………………………………..1
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •X1 x2 X
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •1324 0100.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
- •1. Можно ли выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание.
1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
Теорема о представлении любой булевой функции в виде СДНФ : для любой булевой функции справедлива следующая формула :
-
x1
x2
x3
f
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
Доказательство:
Свойства
1)
2)
Чтобы доказать теорему покажем выполнение данного равенства на любом двоичном наборе ,то есть что левые и правые части совпадают для любого двоиного набора:
.
. То есть левая часть равенства равна 1. Покажем,что и правая часть равенства также равна 1 на данном наборе. Для этого достаточно показать,что хотя бы одно слагаемое правой части равно 1.
Таким слагаемым будет слагаемое, которое соответствует единичному набору , совпадающего с набором .
.
Значение этого слагаемого на наборе есть
в силу того ,что значение каждого множителя равно 1. Последнее справедливо в силу свойства символа .
. То есть левая часть равна 0. Покажем, что и правая часть также равна 0. Для этого нужно показать, что значение всех слагаемых равно 0. Рассмотрим произвольное слагаемое правой части, которое соответствует некоторому двоичному набору , тогдав силу, того, что наборы и различны, т.к. - набор, на котором значение функции равно 0, а - набор, на котором значение функции равно 1. Так как наборы различны, то существует множитель i: , а поэтому и все произведение равно 0.Таким образом каждое слагаемое равно 0, следовательно и вся сумма равна 0, значит правая часть равна 0.
Теорема полностью доказана.
x1 |
x2 |
x3 |
f |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Теорема о разложении булевой функции по первым k-переменным.
Доказательство:
Рассмотрим произвольный набор значений переменных , и покажем, что левая и правая часть равны. Левая часть -.
В правой части рассмотрим слагаемое, в котором значение набора совпадает с первыми k-компонентами набора : .
Значение этого слагаемого на наборе равно.
В силу того, что набор и первые k-компонент набора совпадают, рассматриваемые множители равны 1, все слагаемое равно . Все остальные слагаемые равны 0 в силу того, что среди множителейобязательно найдется множитель, в котором и различаются, а это нулевой множитель. Поэтому правая часть равна (все слагаемые, кроме быть может одного, равны 0).
Теорема доказана.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих тождеств:
6)
7)
8)
9)
10)
Доказательство предлагается в качестве домашних упражнений.
Последние два тождества называются правилами Де-Моргана.
Определение.
Двойственной к функции называют функцию .
Например, двойственной к конъюнкции является
дизъюнкция, и наоборот, двойственной к дизъюнкции является конъюнкция.
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
Утверждение. Двойственной к двойственной функции есть сама функция, т.е.
Теорема о представлении булевой функции в виде конъюнктивной нормальной формы .
КНФ называют логическое произведение некоторых сомножителей, где каждый сомножитель есть элементарная дизъюнкция. КНФ от переменных {x1…xn} называется СКНФ, если каждая дизъюнкция полного ранга, то есть в каждую дизъюнкцию входят все n переменных.
Пример: { x1 x2 x3 }
КНФ :
СКНФ:
Теорема о представлении любой булевой функции в виде СКНФ.
Пример:
-
x1
x2
f
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Доказательство : рассмотрим произвольный набор значений переменных . Либо, либо.
Левая часть равенства равна 1. Покажем, что и правая часть равна единице. Рассмотрим произвольный множитель правой части . Значение этого множителя на набореравнот.к. существует i такое, что, что верно в силу того, что - набор, на котором значение f () = 1, а - набор, на котором значение f()= 0, то есть и - два различных набора, а поэтому есть компонента, в которой они отличаются.
Поэтому ; т.к.,.
Пусть . Покажем, что и правая часть равна 0. Для этого достаточно показать, что существует множитель, который равен 0 на наборе. Действительно, рассмотрим множитель соответствующий набору правой части , который совпадает с набором.
В силу того, что есть ноль функции, наборсуществует. Тогда значение рассматриваемого множителя на наборе равно
(т. к.для всех i :). А так как существует множитель, равный 0, то и значение всей СКНФ = 0.
Теорема о разложении булевой функции по первым k переменным .
Для любой булевой функции f(x1…xn) тождественно выполнено :
Доказательство. Рассмотрим произвольный набор . Значение левой части есть.
В правой части множитель, в котором будет равен 1 в силу того, что, тогдав силу того, что, а раз некоторое слагаемое равно 1 , вся элементарная дизъюнкция равна 1. Тогда остается один множитель, который равен
Тогда все произведение есть . Что и требовалось доказать.
Замечание Используя понятие двойственности, можно показать справедливость предыдущих утверждений о КНФ непосредственным сведением к утверждениям о ДНФ. В разделе о суперпозиции функций будет приведено данное доказательство.
Определение : Полиномом Жегалкина называется сумма по модулю 2 (+) некоторого количества слагаемых, где каждое слагаемое есть элементарная конъюнкция переменных без отрицания.
Пример:
1+x1x2+x3+x1x4x5
Полином Жегалкина, не содержащий ни одного слагаемого, равен 0.
Далее будем рассматривать так называемые приведенные полиномы Жегалкина, т.е. полиномы, в которых все слагаемые различные конъюнкции.
Например 1+x1x2+x3+x1x4x5 (нет двух одинаковых слагаемых).
Если некоторые слагаемые повторяются, то используя правило x+x=0, нетрудно привести любой полином к приведенному виду.
Например x1x2+x3+x1x2+x1x4x5+x3=x1x4x5
Если слагаемое повторяется нечетное количество раз, то оставляем его в единственном экземпляре.