- •Введение………………………………………………………………………………………..1
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •X1 x2 X
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •1324 0100.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
- •1. Можно ли выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание.
5.4 Метод включения-исключения.
Пусть имеется множество элементов и пусть имеется множество свойств, которыми элементымогут обладать или нет. Пусть— число элементов, обладающих свойствами . Пусть обозначает число элементов, обладающих ровно свойствами.
Теорема. =
Доказательство.
1. Рассмотрим элемент обладающий ровносвойствами. Такой элемент войдет втолько прии в суммебудет считаться единственный раз. Поэтому элементы, обладающие ровно свойствами, будут входить в сумму по одному разу.
2. Рассмотрим элементобладающий ровносвойствами,.Тогда вони будут входить приа вони войдутраз. Тогда общее число вхождений такого элементаесть
Таким образом, из 1 и 2 следует требуемое свойство.
Пример 1. Подсчитать число перестановок, оставляющих на месте ровно элементов.
Решение. Вводим множество всех перестановок элементов. Вводимn свойств :-тый элемент при перестановкеостается на месте. Тогда число перестановок, оставляющих на месте ровноэлементов, есть:
где N() — число перестановок, оставляющих на месте -ый,-ой,…,-ый элементы, и это число есть очевидно,(n-k)!, а число слагаемых в суммеесть. Поэтому искомое число есть
Здесь
И при больших получим ассимтотическую формулу
Пример 2. Найти число чисел взаимно простых с данным . Обозначим это число через(так называемая функция Эйлера).
Решение. Введем множество натуральных чисел 1, 2,..., т и введем свойства , гдеозначает, что число делится на простое число. Тогда числа взаимно простые с т есть числа, которые не обладают ни одним из свойств , т.е. обладают 0 свойствами, и поэтому искомое число есть
где есть число чисел, делящихся на , и поэтому это числа, представленные в виде
где множитель h изменяется 1,2,Поэтому =
и тогда ==
Пример 3. Найти число способов раскладки m различных шаров по n различным урнам, при которых ровно урн пусты.
Решение. Введем множество различных раскладок m различных шаров по n различным урнам, т.е. упорядоченных наборов m элементов из множества {1,2,..., n} n-элементов с возможными повторениями. Введем свойства раскладок.—i-ая урна пуста. Тогда искомое число есть— ровно урн пусты.
— число раскладок, при которых ая,ая,ая урны пусты и это число, как нетрудно видеть, есть. Поэтому
Упражнения.
1. Имеется колода карт четырех мастей по n карт каждой масти. Берут карт. Найти число комбинаций, в которых имеются все масти.
2. Бросают различных игральных кубиков. Найти число комбинаций, когда имеются все цифры.
3. Найти число квадратных двоичных матриц размера nn, в каждой строке которых содержится хотя бы один ноль.
4. Найти число двоичных матриц размера n в строках, которых содержатся все двоичные слова длины m.
5. Составляют n-значные числа из цифр 1,2,3,4. Найти число чисел, в
которых имеются все цифры.
5.5 Основы метода производящих функций.
Пусть имеется некоторая последовательность целых положительных чисел:
Производящей функцией последовательности называют формальный ряд
Пример 1. Рассмотрим последовательность где— число неупорядоченных наборов без повторений i элементов из n имеющихся. Тогда
но, с другой стороны, рассмотрим функцию и рас-
кроем в ней скобки, тогда коэффициент при есть число выборовi скобок из n имеющихся, в которых брали t, а в остальных 1. Таким образом, =
Тогда
Пример 2. Производящая функция последовательности неупорядоченных наборов с повторениями где — число неупорядоченных наборов с возможными повторениями i элементов из п имеющихся,
Но, с другой стороны, рассмотрим функцию
и раскроем в ней скобки, тогда коэффициент при равен числу решений уравнения
в целых числах, что и является числом. Поэтому
=
Пример 3. Производящая функция последовательности неупорядоченных наборов i элементов из n данных, где только первый элемент может повториться раз.
В частности производящая функция последовательности неупорядоченных наборов, где только первый элемент может повторяться, есть
=.
Здесь во второй строке применена формула Лейбница для производной произведения.
Пример 4. Производящая функция последовательности перестановок из n элементов 1,2,... ,п с определенным числом инверсий
Вектором инверсий перестановки называют n -компонентный вектор, где i-ая его компонента равна числу чисел больших i, стоящих левее i в перестановке .