- •Введение………………………………………………………………………………………..1
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •X1 x2 X
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •1324 0100.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
- •1. Можно ли выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание.
2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
Мы представляем регулярный способ перечисления всх тупиковых покрытий посредством ограниченного перебора.
Рассмотрим таблицу покрытия. Пусть функция f (,…,) отn переменных имеет s единиц ,…,, иm максимальных интервалов ,…,. Таблица будет содержатьs столбцов, каждый столбец будет соответствовать определенной единице функции и будет содержать m строк , каждая строка соответствует определенному максимальному интервалу.
|
,… |
,… | |
|
|
| |
|
| ||
|
|
| |
|
|
|
|
Например,
K2
-передняя грань ,- ребро
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| |||||
|
|
|
Определение: Выборкой называют упорядоченный набор интервалов
, ,…,,(каждый индекс принимает значения из множества чисел, причем значения некоторых индексов могут повторяться), чтоесть не нулевой элемент первого столбца , и т. д.,- ненулевой элемент последнегоs – того столбца .
Например :
выборки.
Утверждение 1 : Интервалы любой выборки являются покрытием.
Рассмотрим произвольную выборку ,, … ,. Все интервалы данного множества допустимы, и все единицы функции покрыты.
Действительно, первая единица функции покрыта интервалом , вторая, и т. д., последняя единица покрыта.
Утверждение 2 : Взяв в некотором порядке некоторые интервалы покрытия, можно получить выборку.
Рассмотрим произвольное покрытие. Рассмотрим интервал, который покрывает первую единицу функции, обозначим его .
Рассмотрим и обозначим, который покрывает вторую единицу функции и т. д. Рассмотрим интервал, который покрывает последнююs – ую единицу функции.
Такие интервалы обязательно найдутся, потому что рассматриваемое множество является покрытием.
Тогда полученное множество интервалов ,, … ,является выборкой.
Из этих утверждений следует
Утверждение 3 : Множество тупиковых покрытий содержится среди выборок.
Действительно, каждое тупиковое покрытие есть выборка, которую оно содержит. Интервалы тупикового покрытия можно упорядочить, и при этом получим выборку.
Таким образом, чтобы найти множество тупиковых покрытий нужно найти множество всех выборок, исключить из них нетупиковые выборки.
Множество оставшихся выборок и есть требуемое множество тупиковых покрытий.
Таким образом, мы должны разработатьметод перечисления всех выборок и удаления нетупиковых выборок.
Метод нахождения всех выборок .
Пусть ,…,ненулевые элементы первого столбца в таблице покрытия.
,…, ненулевые элементы второго столбца в таблице покрытия .
…
,…, ненулевые элементы последнегоs – того столбца в таблице покрытия.
Рассмотрим функцию покрытия . Это есть КНФ от переменных, которые соответствуют максимальным интервалам таблицы покрытия.
Это КНФ есть произведение по всем столбцам покрытия , где каждому столбцу соответствует множитель равный дизъюнкции ненулевых элементов
(…)(…)…(…).
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
|
Пример: максимальные интервалы- есть следующие ребра
2
()()()()() - КНФ
Раскроем скобки в полученной КНФ , т.е. перейдем от КНФ к ДНФ .
Утверждение : Множество слагаемых полученной ДНФ и есть множество всевозможных выборок.
Действительно, каждое слагаемое при раскрытии скобок получается при выборе в первом множителе КНФ одного из интервалов, которые по построению покрывают первую вершину. Во втором множителе КНФ при выборе некоторого интервала, который по построению покрывает вторую вершину и т. д. В последнем множителе при выборе интервала, который по построению покрывает последнююs – тую вершину.
Полученное множество интервалов есть выборка.
Множество всевозможных таких слагаемых и есть множество всех выборок.
После нахождения всех выборок удаляем нетупиковые выборки. Выборка будет нетупиковой, если из нее можно удалить некоторые интервалы так, что все равно получится выборка.
Т. е. по-другому говоря, слагаемое, которое соответствует нетупиковой выборке поглощается слагаемым, которое соответствует тупиковой выборке.
Например :
Множество интервалов является выборкой.
- является выборкой .
Верхнее не является тупиковой, потому что при удалении интервала получается нижнее покрытие.
Т. е. интервал поглощает.
Таким образом, чтобы получить все тупиковые выборки нужно в построенной ДНФ применить все возможные поглощения.
Множество оставшихся слагаемых и будут всевозможные тупиковые покрытия .
Таким образом, переход от КНФ к ДНФ и есть требуемый метод перечисления всех выборок. Удаление нетупиковой выборки есть операция поглащения
.
Примечание : Операцию поглощения можно применять в процессе раскрытия скобок .
Корректность этой операции следует из примера. Раскрывая скобки, получаем
Мы применяем поглащение в процессе раскрытия скобок в силу того, что покрытия содержащие пару интервалов не будут тупиковыми- соответствующие слагаемое, которое будет содержать только будет короче.
Тупиковые покрытия максимальными интервалами:
;
Теперь нужно выбрать покрытия, которые обладают наименьшей сложностью. Оба покрытия имеют одну сложность, поэтому это и есть все минимальные ДНФ нашей функции. Сложность равна шести. Ответ минимальные ДНФ-
;