- •Введение………………………………………………………………………………………..1
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •X1 x2 X
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •1324 0100.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
- •1. Можно ли выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание.
Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
Доказательство:
- эта система полна в Т0 . Покажем, что любая собственная подсистема полной в Т0 не является. Рассмотрим . Т.к.,тогда, но функцияне является полной в классеТ0 .
Рассмотрим в силу того, чтоне является полной в классеТ0 . Таким образом все собственные подсистемы не полны в классе Т0, поэтому - базис вТ0 .
2) - эта система полна вТ1 . Покажем, что все собственные подсистемы не полны в Т1. Покажем, что не полна вТ1 , а именно . Для этого рассмотрим классК следующих функций: , если и только если для любых 2-х наборов значений переменных, на которых значение функции равно 0 существует переменная равная 0 в обоих наборах, причем наборы не обязательно различные:
Например
0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0
1 1 1 в обоих наборах.
Из определения следует, что на единичном наборе функция из К равна единице.
0 0 0
0 1 1
1 0 1 0 0 в обоих наборах
1 1 1 0 0
0 0 0
0 1 0 0 1
1 0 0 1 0
1 1 1
Утверждение:
Класс К замкнут относительно суперпозиции функций.
Доказательство: Пусть
Образуем их суперпозицию:
Пусть верно противное - суперпозиция , тогда существует пара наборов значений переменных
:
для любогои для любого
Обозначим
.
Тогда на обоих наборах значениеравно 0. В силу того, что, и т.к. в наборахнет переменной, равной нулю, такой переменной должна быть последняя переменная, т. е.. Но для наборовнет переменной, равной нулю в обоих наборах, следовательно получаем противоречие с тем, что. Утверждение доказано.
В силу того, что . Но.
Рассмотрим в силу того, что, имеем,. Таким образом все собственные подсистемы системыполными вТ1 не являются, и тогда является базисом вТ1 .
есть базис в S. Эта система полна в классе S. Покажем, что все собственные подсистемы данной системы в классе S полными не являются - эта функции у которых ровно одна существенная переменная, а функцияимеет три существенные переменные. Поэтому.
Рассмотрим функцию
, поэтому система - базис вS .
4) Покажем, что - базис вМ. Во-первых эта система полна в классе М . Покажем, что все собственные подсистемы не полные.
а функции дизъюнкции в замыкании нет поэтому система не полна в классеМ.
, а функции в замыкании нет, следовательно системане полна в классеМ следовательно начальная система есть базис в классе монотонных функций.
5) Система полна в классеL . Покажем, что все собственные подсистемы в классе линейных полными не являются:
следовательно начальная система является базисом в классе линейных функций.
Замечание
Вопросы о представлении функций в монотонном базисе потребуются в следующем разделе минимизации двоичных фукций.
Замечание
Пост нашел все замкнутые классы в классе двоичных функций и описал структуру их взаимных вложений.