8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.

Определение. Кодирование называют типа , если существует штук кодовых слов единичной длины, кодовых слов из двух букв, слов из трех букв, …, слов длины .

Критерий. Префиксное корректное кодирование типа существует тогда и только тогда, когда – мощность кодирующего алфавита.

Доказательство.

Необходимость. Пусть – корректное кодирование типа . Покажем справедливость формулы .

Перепишем формулу в виде: – длины кодовых слов. Возведем сумму в степень : , т.е. возьмем произведений таких сумм здесь параметры независимо друг от друга пробегают множество от до : , где – число представлений числа в виде суммы с помощью группировки слагаемых. Т.к. кодирование корректно, то .

Действительно, – это общее число слов в кодирующем алфавите длины , а каждое решение уравнения будет соответствовать некоторому кодирующему слову, которых, в силу корректности, не может быть больше чем общее число слов длины :

Достаточность. Пусть числа удовлетворяют соотношению . Построим префиксное кодирование типа .

Перепишем сумму по слагаемым:

Наша задача – построение кодовых слов таких, что никакое кодовое слово не начинается на другое кодовое слово. Построим в начале кодовые слова единичной длины, а потом длины 2 и т.д.

Из неравенства следует, что , т.е. . В кодирующем алфавите есть букв и мы должны выбрать различных кодовых слов единичной длины, а из неравенства следует, что это действительно можно сделать.

Далее построим кодовые слова длины 2. Тогда выполняется неравенство , из которого следует, что , где – общее число слов длины 2 в кодовом алфавите, а – число слов длины 2, которые начинаются на кодовые слова единичной длины. Таким образом, число допустимых слов длины 2 равно . Из полученного неравенства следует, что мы действительно можем выбрать кодовые слова длины 2, чтобы выполнялись условия префиксности.

Допустим, что уже выбраны кодовые слова длины меньшей , причем соблюдая условия префиксности. Покажем, что можно выбрать кодовые слова длины .

Из неравенства следует, что , где – общее число слов длины в кодирующем алфавите, – число слов длины , которые начинаются на кодовые слова длины и т. д., число слов длины, которые начинаются на кодовые слова длины 1. Таким образом, мы построили префиксное кодирование типа.

Теория кодирования имеет применение в задачах устойчивой пердачи информации.

Практические задачи

Контрольная работа 1:

1. Можно ли выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание.

2. Найдите существенные переменные функции f(x1,x2,x3)=01010110

3.Представить в виде СДНФ и найти полином Жегалкина функции f(x1,x2,x3)=01010110

4.Можно ли из системы функций {10111111, x1x2x3+x1}получить функции x1x2 и , и если да, опишите определяющее выражение.

5.Можно ли из системы функций {00111100, x1x2} получить функцию

, и если да, опишите определяющее выражение.

6 Найдите замыкание систем функций:

1) [],2) [] 3) []

7 Является ли следующая системы функций

1){} 2) {} 3) {} 4)базисами в

Контрольная работа 2

1 Найти минимальную ДНФ функции 123’Штрих есть отрицание переменной, номер которой указан цифрой.

2 Найти все допустимые интервалы функции 123’

Штрих есть отрицание переменной, номер которой указан цифрой.

3 Найти все максимальные допустимые интервалы функции 123’

4 Найдите все тупиковые покрытия максимальными интервалами единиц функции

123’

5 Найдите все тупиковые покрытия максимальными интервалами единиц монотонной функции 12

6 для функции геометрическим методом найдите:

1) все единицы и укажите их число,

2) все допустимые интервалы и укажите их число,

3) все максимальные допустимые интервалы и укажите их число,

4) все тупиковые ДНФ из максимальных интервалов и укажите их число,

5) все минимальные ДНФ и укажите их число.

7 Аналитическим методом найдите все минимальные ДНФ функции

8 Можно ли пересечение двух множеств получить, используя только объединение и дополнение?

9 Найдите минимальную ДНФ функции от n переменных с единственным нулем -0…0.

10 Верно ли, что обобщенная резолюция двух допустимых интервалов есть допустимый интервал?

11 для функции геометрическим методом найдите:

1) все единицы и укажите их число,

2) все допустимые интервалы и укажите их число,

3) все максимальные допустимые интервалы и укажите их число,

4) все тупиковые ДНФ из максимальных интервалов и укажите их число,

5) все минимальные ДНФ и укажите их число.

12 Аналитическим методом найдите все минимальные ДНФ функции

13 Можно ли объединение двух множеств получить, используя только пересечение и дополнение?

14 Найдите минимальную ДНФ функции от n переменных с единственным нулем -1…1.

15Может ли СДНФ функции быть минимальной?

Контрольная работа 3

1.Построить вывод теоремы в ИВ.

2 Является ли формула ИП:общезначимой.

3 Покажите замкнутость рекурсивных (разрешимых) множеств относительно пересечения.

4.Является ли формула теоремой ИВ

5 Является ли формула ИП: общезначимой.

6. Покажите замкнутость рекурсивных (разрешимых) множеств относительно пересечения.

7 Постройте машину Тьюринга, определяющую симметричность двоичного слова относительно середины.

8 Замкнут ли класс рекурсивно перечислимых множеств относительно объединения, пересечения.

9 Замкнут класс примитивно рекурсивных множеств относительно пересечения.

10 Является ли формула ИП: общезначимой.

11 Постройте машину Тьюринга, которая обращает слово.

12 Являются ли примитивно рекурсивные множества рекурсивно перечислимыми.

13 Замкнут ли класс рекурсивно перечислимых множеств относительно дополнения.

14 Является ли формула общезначимой ИП.

15 Существует ли рекурсивная, универсальная функция для класса рекурсивных функций

16. Представьте в виде обобщенной СДНФ в (формула в системе {0,1,2,функцию {000111111}.

17. Найдите существенные переменные функций :

Контрольная работа 4

1.Студенты А,Б,В,Г,Д выбрали спецкурсы а, б, в ,г, д . Найдите минимальное число пар в корректном расписании. На каждый спецкурс отводится только одно занятие. Поэтому, чтобы студенты посетили все выбранные спецкурсы, на одной паре не может быть поставлены спецкурсы выбранные одним и темже студентом.

а /А/; б /Б,В/; в/Г/; г/Б,Г/; д/А,В/

2.Какие из графов планарны, какие непланарны.

3. Снегоуборочная машина должна убрать снег с дорог в микрорайоне схема которого на рисунке а) в предыдущей задаче. Найдите кратчайший замкнутый маршрут. Длины всех участков дорог равны.

4.Верно ли, что в каждом ориентированном графе без тупиков существует цикл. Тупик- вершина, из которой нет выходящих ребер.

5. Покажите, что во всяком дереве с n >=2 вершинами не менее двух вершин висячие.

Контрольная работа 5:

1. На ж/д. станции имеется т светофоров. Сколько может быть дано раз­личных сигналов, если каждый светофор имеет три состояния: красный, желтый и зеленый?

2. Сколько существует матриц размера т, п, элементы которых прини­мают значения 0 или 1 ?

3. Какое число позиций из трех различных фигур существует на шах­матной доске 8х8?

4. Имеется шесть претендентов на три вакантные должности. Какое чи­сло возможных назначений имеется?

5. Имеется семь различных автобусов. Каким числом способов можно выбрать три из них на три различных маршрута?

6. Десять человек голосуют за трех кандидатов. Можно голосовать толь­ко за одного кандидата. Какое число возможных результатов выборов?

7. Подкидывают пять различных игральных костей. Какое возможное число исходов?

8. Какое число расстановок восьми одинаковых ладей имеется, чтобы никакая пара ладей не угрожала друг другу?

9. Какое число способов составить расписание из пяти предметов на один день имеется?

10. Найти число различных конъюнкций на множестве n переменных.

11. Найти число двоичных наборов длины n с k единицами.

12. Имеется колода из 36 карт, выбирают 3 карты. Какое число возмож­ных выборов имеется?

13. Имеется 10 предметов. Каким числом способов можно составить набор из трех предметов?

14. Бросают пять одинаковых игральных костей. Найти возможное число исходов.

15. Имеется три одинаковые колоды по 36 карт в каждой колоде. Найти число возможных выборов трех карт.

16. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 муж. и 5 жен. так чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом.

17. Сколькими способами можно посадить на карусель 5 муж. и 5 жен. Так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом, и способы, переходящие друг в друга при вращении карусели считать совпадающими.

18. Из колоды содержащей 52 карты вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз?

19. Из колоды содержащей 52 карты вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется ровно один туз?

20. Из колоды содержащей 52 карты вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется не менее двух тузов?

21. В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения?

22. У мамы 2 яблока и три груши. Каждый день в течение 5 дней она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

23. У мамы m яблок и n груш. Каждый день в течении m дней подряд она выдает по 1 фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

24. У мамы 2 яблока,3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

25. У отца есть пять попарно различных апельсинов, которые он выдает своим 8 детям так, что каждый получает либо один апельсин, либо ничего. Сколькими способами это можно сделать?

26. Сколькими способами можно надеть пять различных колец на пальцы одной руки, исключая большой палец?

27. 30 человек голосуют по пяти предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует за одно предложение и учитывается лишь число голосов, поданных за каждое предложение?

28. 30 человек голосуют по пяти предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует за одно предложение?

29. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?

30. Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только один раз?

31. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое не могут быть выбраны вместе?

32. Сколько имеется 6-ти значных чисел, у которых три цифры четные, а три нечетные?

33. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1,2,3,4.

34. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1,2,2,5.

35. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1,3,3,3.

36. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1,1,4,4.

37. Сколько нечетных чисел можно составить из цифр числа 3694 (каждую цифру можно использовать не более одного раза).

38. Сколькими способами можно переставить цифры числа 12 341 234 так, чтобы никакие две одинаковые цифры не шли друг за другом?

39. Сколькими способами можно переставить цифры числа 12 345 254 так, чтобы никакие две одинаковые цифры не шли друг за другом?

40. Стороны каждой из двух игральных костей помечены числами 0,1,3,7,15,31. Сколько различных сумм может получиться при метании этих костей?

41. Стороны каждой из трех игральных костей помечены числами 1,4,13,40,121,364. Сколько различных сумм может получиться при метании этих костей?

42. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течение трех дне выбирать по 6 участников, так, чтобы каждый день были различные составы хора?

43. Сколько и каких цифр понадобиться, чтобы записать все натуральные числа, меньшие 10?

44. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (т. е. некоторое число очков встретилось на обеих костях).

45. Город имеет вид прямоугольника, разделенного улицами на квадраты. Таких квадратов в направлении с севера на юг n, а с востока на запад k.. Сколько имеется кратчайших дорог от одной из вершин прямоугольника до противоположной?

46. Сколькими способами можно расставить k ладей на “шахматной” доске размером nn так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. так, чтобы никакие две из них не стояли на одной вертикали или горизонтали? Рассмотреть случай k=n и имеется p белых и k-p черных ладей.

Контрольная работа 6

1 Является ли граф трехмерного куба планарным?

2.Найдите хроматическое число двудольного графа.

3 Постройте схему из функциональных элементов, которая реализует следствие

4 Русский текст, составленный из 32 букв алфавита и символа пробела между словами, анализируется с целью подсчета слов, начинающихся на А и оканчивающихся на ИЯ (таких как АРМИЯ). Охарактеризовать систему как автомат- постройте граф автомата.

5 Является ли функция x(1),x(2),x(3),…0,x(1),x(2),…ограниченно- детерминированной ( вход и выход в двоичном виде)?

6 Постройте схему из функциональных элементов, которая реализует следствие и использует не более одного отрицания

7 Является ли сдвиг на одну позицию слова в алфавите {a,b}, x(1),x(2),x(3),…a,x(1),x(2),… ограниченно- детерминированной функцией.

Если ответ на вопрос положительный постройте граф- схему автомата.

8 Постройте схему из функциональных элементов, которая реализует эквивалентность двух переменных с не более чем одним отрицанием.

9 Является ли сдвиг на одну позицию слова в алфавите {a,b,c}, x(1),x(2),x(3),…a,x(1),x(2),… ограниченно- детерминированной функцией.

Если ответ на вопрос положительный постройте граф- схему автомата.

10 Постройте схему из функциональных элементов, которая реализует функцию двух переменных с единственным нулем –11 и использует не белее одного отрицания.

11. Является ли сдвиг на одну позицию слова в алфавите {a,b,c,d}, x(1),x(2),x(3),…a,x(1),x(2),… ограниченно- детерминированной функцией.

Если ответ на вопрос положительный постройте граф- схему автомата.

12 Постройте граф автомата- сумматора. Его входы- разряды двух слагаемых в двоичном виде 00, 01, 10, 11, а выходом является разряд суммы

с учетом переноса из предыдущего разряда.

13 Является ли граф призмы, в основании которого пятиугольник, планарным?

14 Найдите хроматическое число графа в задаче 13.

15 Является ли граф призмы, в основании которой шестиугольник, планарным?

16 Является ли дерево планарным?

Основная литература:

1 Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М. 1987

2 Гаврилов Г. П., Сапоженко А.А. "Сборник задач по

дискретной математике". - М. 1989. М. 1992.

3 Сачков,Владимир Николаевич.    Комбинаторные методы дискретной математики. - М. : Наука, 1977. - 320с

4 Новиков Ф. А.    Дискретная математика для программистов : учебник. - СПб. : Питер, 2002. - 302 с.  

Дополнительная литература:

1 Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной

математике.

2 Лебедев В.Н., Тарасов М.И. Конспект лекций

по дискретной математике. Волгоград 2000.