- •Введение………………………………………………………………………………………..1
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •X1 x2 X
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •1324 0100.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
- •1. Можно ли выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание.
2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
Утверждение 1 : Любая минимальная ДНФ может состоять только из максимальных интервалов.
Утверждение 2 : Любая минимальная ДНФ - есть тупиковое покрытие.
Докажем утверждение 1:
Допустим противное, что некоторая минимальная ДНФ k1 k2 ... ks содержит немаксимальный интервал k1 . Это означает, что из интервала k1 можно удалить множитель , так что полученный интервал k1/ так же будет допустимым.
Заменим интервал k1 на k1/ в начальной ДНФ функции f. Нетрудно видеть, что полученная ДНФ k1/ k2 ... ks также представляет функцию f.
Действительно, в силу одного из предыдущих утверждений интервал k1 k1/ . Это означает, что любая единица, которая была покрыта интервалом k1, будет покрыта интервалом k1/. Все остальные единицы были покрыты оставшимися интервалами. Они же покрыты интервалами (оставшимися) в полученной ДНФ. Таким образом, все единицы функции f покрыты полученными интервалами. И все интервалы данного набора являются допустимыми. Поэтому полученная ДНФ является покрытием и поэтому представляет функцию f. Но сложность полученной ДНФ меньше, чем сложность первоначальной, т. к. в интервале k1 был удален некоторый множитель.
Отсюда следует противоречие. Мы получили ДНФ, сложность которой меньше чем сложность первоначальной.
Пример: Рассмотрим булеву функцию x1 x3 x2 x3 x1 и рассмотрим покрытие соответствующее данной функции.
Действительно, это покрытие, но данное покрытие не может соответствовать минимальной ДНФ из-за того что интервалы x1x3 и x1 не являются максимальными.
Действительно, из интервала x1x3 можно удалить множитель x3 и получится допустимый интервал x1. И сложность ДНФ, которая так же является покрытием, уменьшится на 1.
Поэтому первоначальное покрытие не может быть минимальным. В данном примере минимальная ДНФ есть x1 x2 x3 . Д/з.
Докажем утверждение 2:
Любая минимальная ДНФ есть тупиковое покрытие.
Допустим противное, что есть минимальная ДНФ k1 k2 ... ks, которая не является тупиковым покрытием. Это означает, что в ДНФ есть интервал k1 (для определенности), удаление которого все равно приведет к покрытию k2 ... ks, т. е. полученное покрытие будет представлять булеву функцию, но сложность полученной ДНФ для данного покрытия меньше чем сложность первоначальной ДНФ на величину ранга удаленной конъюнкции. Поэтому первоначальная ДНФ не может является минимальной.
Из данных двух утверждений следует, что минимальная ДНФ содержится в множестве всевозможных тупиковых, состоящих из максимальных интервалов.
Замечание: Тупиковая ДНФ не обязательно является минимальной.
Например: x1 x3 x2 x3 x1. Действительно, данные интервалы составляют тупиковое покрытие. Но данная ДНФ не является минимальной.
Данное утверждение не верно даже если предполагать, что тупиковая ДНФ состоит только из максимальных интервалов.
Пример:
Максимальными интервалами являются 6 ребер:k1 , k2 , k3 , k4, k5, k6 . Они действительно являются максимальными, ни одно из ребер не содержится в допустимой грани. Допустимых граней здесь нет.
Не трудно видеть, что k1 , k2 , k4 , k5 является тупиковым покрытием. Действительно, все интервалы допустимы и максимальны, и при удалении любого интервала получаем не покрытие. Но данное тупиковое покрытие максимальными интервалами минимальным не является. В данном примере существует покрытие меньшей сложности, которое покрывает все вершины, а сложность этого покрытия меньше: k1, k3 , k5,.
Ответ: Минимальные ДНФ следующие:
Т
011
111
001
110
100
000
Геометрический метод нахождения всех минимальных ДНФ функции f.
001 011
111
000 010
110
Первый этап:
Рассмотрим пример. В нем максимальные интервалы x1 и x2 . Действительно, x1 является допустимым, он состоит целиком из единиц функции f, удаление множителя x1 из данного интервала дает интервал константу 1. Это все вершины булевого куба. Вершина 000 единицей не является. Поэтому const 1 — весь булев куб допустимым интервалом не является. Поэтому интервал x1 является максимальным.
Интервал x2 так же является максимальным.
Второй этап:
Найдем все тупиковые покрытия. Получаем единственное покрытие, состоящее из всех максимальных интервалов. Действительно, интервал x2 обязательно должен принадлежать покрытию, т.к. только данный максимальный интервал покрывает вершину 011.
Интервал x1 также обязан принадлежать покрытию, т.к. только данный максимальный интервал покрывает вершину 100.
Таким образом, множество всех тупиковых покрытий максимальными интервалами состоит из единственного покрытия, которое и является единственным минимальным.
Поэтому получаем единственную минимальную ДНФ .
Рассмотрим функцию от трех переменных.